Esercizio di geometria Euclidea
Buongiorno a tutti. Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio di geometria euclidea.
Problema: sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Si tracci la semicirconferenza di centro O (punto medio di AB) e tangente ai lati AC e BC. Siano P e Q i due punti di tangenza.
Si tracci poi una corda MN del triangolo dato tangente alla semicirconferenza e sia T il punto di tangenza.
Dimostrare che i triangoli AOM,ONM,BNO sono simili tra loro.
Il mio dubbio è questo: nel disegno la corda MN deve essere parallela alla base poichè se non lo è non mi sembra possibile che i tre triangoli siano simili.
Problema: sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Si tracci la semicirconferenza di centro O (punto medio di AB) e tangente ai lati AC e BC. Siano P e Q i due punti di tangenza.
Si tracci poi una corda MN del triangolo dato tangente alla semicirconferenza e sia T il punto di tangenza.
Dimostrare che i triangoli AOM,ONM,BNO sono simili tra loro.
Il mio dubbio è questo: nel disegno la corda MN deve essere parallela alla base poichè se non lo è non mi sembra possibile che i tre triangoli siano simili.
Risposte
Ciao nakai,
il problema non specifica che MN debba essere parallela ad AB, il che significa che devi dimostrare la tesi qualunque sia la sua inclinazione.
Ti scrivo qui di seguito la mia dimostrazione, con il disegno davanti dovrebbe risultarti più semplice capire... alla fine si tratta di individuare una serie di congruenze tra angoli all'inizio.
Dopo aver disegnato il tutto, con MN inclinato a piacere, traccia i segmenti PO, MO, TO, NO e QO (se non l'hai già fatto).
Puoi facilmente dimostrare le seguenti congruenze fra triangoli:
$ hat{APO} cong hat{QOB} $
$ hat{POM} cong hat{MOT} $
$ hat{TON} cong hat{NOQ} $
dalle quali deriva che:
$ Phat{A}O cong Qhat{B}O $
$ Phat{O}A cong Qhat{O}B $
$ Phat{O}M cong Mhat{O}T $
$ That{O}N cong Nhat{O}Q $
$ That{N}O cong Qhat{N}O $
Osserva poi che $ 2Phat{O}A + 2Mhat{O}T + 2That{O}N = 180° Rightarrow Phat{O}A + Mhat{O}T + That{O}N = 90° $ ci serviremo proprio di quest'ultima relazione. Infatti la si può riscrivere come:
$ Mhat{O}T + That{O}N = 90°- Phat{O}A $ dove $ Mhat{O}T + That{O}N = Mhat{O}N $
Poiché $ Phat{A}O cong 90° - Phat{O}A $, per differenza di angoli rispettivamente congruenti, risulta:
$ Mhat{O}N cong Phat{A}O cong Nhat{B}O $ [1]
A questo punto, servendoci della stessa relazione di prima, la riscriviamo nel seguente modo:
$ Phat{O}A + Mhat{O}T = 90° - That{O}N $ dove $ Phat{O}A + Mhat{O}T = Ahat{O}M $
Poiché $ That{N}O = 90° - That{O}N $ sempre per differenza di angoli congruenti, risulta:
$ Ahat{O}M cong That{N}O cong Qhat{N}O $ [2]
Infine, con le relazioni [1] e [2] si deduce che i tre triangoli $hat{AOM}$, $hat{BON}$ e $hat{MON}$ avranno anche il terzo angolo rispettivamente congruente (in quanto dato dalla differenza fra 180° e la somma degli altri due, di cui si è dimostrata la congruenza, appunto) e per il Primo criterio di similitudine essi risultano simili fra loro.
Come vedi il tutto non dipende dall'inclinazione di MN.
In caso qualcosa non risultasse chiaro, chiedi pure.
il problema non specifica che MN debba essere parallela ad AB, il che significa che devi dimostrare la tesi qualunque sia la sua inclinazione.
Ti scrivo qui di seguito la mia dimostrazione, con il disegno davanti dovrebbe risultarti più semplice capire... alla fine si tratta di individuare una serie di congruenze tra angoli all'inizio.
Dopo aver disegnato il tutto, con MN inclinato a piacere, traccia i segmenti PO, MO, TO, NO e QO (se non l'hai già fatto).
Puoi facilmente dimostrare le seguenti congruenze fra triangoli:
$ hat{APO} cong hat{QOB} $
$ hat{POM} cong hat{MOT} $
$ hat{TON} cong hat{NOQ} $
dalle quali deriva che:
$ Phat{A}O cong Qhat{B}O $
$ Phat{O}A cong Qhat{O}B $
$ Phat{O}M cong Mhat{O}T $
$ That{O}N cong Nhat{O}Q $
$ That{N}O cong Qhat{N}O $
Osserva poi che $ 2Phat{O}A + 2Mhat{O}T + 2That{O}N = 180° Rightarrow Phat{O}A + Mhat{O}T + That{O}N = 90° $ ci serviremo proprio di quest'ultima relazione. Infatti la si può riscrivere come:
$ Mhat{O}T + That{O}N = 90°- Phat{O}A $ dove $ Mhat{O}T + That{O}N = Mhat{O}N $
Poiché $ Phat{A}O cong 90° - Phat{O}A $, per differenza di angoli rispettivamente congruenti, risulta:
$ Mhat{O}N cong Phat{A}O cong Nhat{B}O $ [1]
A questo punto, servendoci della stessa relazione di prima, la riscriviamo nel seguente modo:
$ Phat{O}A + Mhat{O}T = 90° - That{O}N $ dove $ Phat{O}A + Mhat{O}T = Ahat{O}M $
Poiché $ That{N}O = 90° - That{O}N $ sempre per differenza di angoli congruenti, risulta:
$ Ahat{O}M cong That{N}O cong Qhat{N}O $ [2]
Infine, con le relazioni [1] e [2] si deduce che i tre triangoli $hat{AOM}$, $hat{BON}$ e $hat{MON}$ avranno anche il terzo angolo rispettivamente congruente (in quanto dato dalla differenza fra 180° e la somma degli altri due, di cui si è dimostrata la congruenza, appunto) e per il Primo criterio di similitudine essi risultano simili fra loro.
Come vedi il tutto non dipende dall'inclinazione di MN.
In caso qualcosa non risultasse chiaro, chiedi pure.
grazie adesso mi risulta chiara la dimostrazione e anche il disegno.
Lieta di esserti stata d'aiuto.
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