Esercizio di calcolo combinatorio.
Avrei il seguente esercizio, qualcuno può suggerirmi come posso ragionare sulla risposta?
Si devono colorare sette caselle con tre colori diversi. In quanti modi diversi si può fare?
E se ogni colore dovesse comparire almeno una volta?
Per la prima domanda è semplice; imponendo che il bianco non rappresenti un quarto colore la risposta è $ 3^7 $.
Ma per il secondo quesito come posso ragionare?
Si devono colorare sette caselle con tre colori diversi. In quanti modi diversi si può fare?
E se ogni colore dovesse comparire almeno una volta?
Per la prima domanda è semplice; imponendo che il bianco non rappresenti un quarto colore la risposta è $ 3^7 $.
Ma per il secondo quesito come posso ragionare?
Risposte
Per il seondo quesito non penso esista una formula, ma credo bisogni "fare la conta"....
Possiamo avere i seguenti casi:
1)7-0-0 = $3*(7!)/(7!)=3$
2)6-1-0 = $6*(7!)/(6!)=42$
3)5-2-0 = $6*(7!)/(5!*2!)=126$
4)5-1-1 = $3*(7!)/(5!)=126$
5)4-3-0 = $6*(7!)/(4!*3!)=210$
6)4-2-1 = $6*(7!)/(4!*2!)=630$
7)3-3-1 = $3*(7!)/(3!*3!)=420$
8)3-2-2 = $3*(7!)/(3!*2!*2!)=630$
Come vedi $3+42+126+126+210+630+420+630=2.187=3^7$
I casi che ti interessano sono 4-6-7-8 ovvero $126+630+420+630=1.806$
Possiamo avere i seguenti casi:
1)7-0-0 = $3*(7!)/(7!)=3$
2)6-1-0 = $6*(7!)/(6!)=42$
3)5-2-0 = $6*(7!)/(5!*2!)=126$
4)5-1-1 = $3*(7!)/(5!)=126$
5)4-3-0 = $6*(7!)/(4!*3!)=210$
6)4-2-1 = $6*(7!)/(4!*2!)=630$
7)3-3-1 = $3*(7!)/(3!*3!)=420$
8)3-2-2 = $3*(7!)/(3!*2!*2!)=630$
Come vedi $3+42+126+126+210+630+420+630=2.187=3^7$
I casi che ti interessano sono 4-6-7-8 ovvero $126+630+420+630=1.806$
"superpippone":
Per il seondo quesito non penso esista una formula,
La 'formula' esiste: $ 3^7-3 cdot 2^7+3=1806 $,
da tutte le colorazioni possibili si tolgono quelle che comportano l'uso di non più di due colori e poi si 'corregge' il risultato notando che in questo modo quelle con un solo colore sono state tolte due volte.
Certamente, dal punto di vista didattico, non è male iniziare con un conteggio puntuale come il tuo.
Ciao
Avevo la sensazione di aver visto una formula in un'altra discussione.
E poteva essere stata postata solamente o da te, o da Nino.
Grazie per la ri-delucidazione, me temo che (conoscendomi...) putroppo non ne farò tesoro...
Ciao
Luciano
E poteva essere stata postata solamente o da te, o da Nino.
Grazie per la ri-delucidazione, me temo che (conoscendomi...) putroppo non ne farò tesoro...
Ciao
Luciano
Grazie.
Di nulla.
Ciao
Ciao
Ancora una domanda: potreste darmi la conferma che i seguenti esercizi sono stati svolti correttamente?
1) Utilizziamo sette lampadine colorate per creare un festone luminoso da stendere fra due pali. Le lampadine hanno tutte colore diverso tranne tre che sono rosse. I possibili modi con cui i colori si possono susseguire sono:
A) $5040$
B) $840$
C) $35$
D) $343$
E) $210$
Io l'ho svolto pensandolo come delle permutazioni con ripetizione, quindi la risposta sarebbe la B): $ (7!)/(3!) =840 $.
2) Un'impresa codifica le proprie merci utilizzando tre cifre non nulle e non necessariamente diverse. Il numero di merci che può codificare con questa tipologia di codice è:
A) $729$
B) $6561$
C) $1000$
D) $720$
E) $504$
Io l'ho svolto con le disposizioni con ripetizione, quindi $ 9^3 =729 $ disposizioni diverse (la A)
3) Un codice di sicurezza è formato da sei cifre tutte diverse ed è escluso lo zero. Il numero totale dei possibili codici è:
A) $15 120$
B) $120 960$
C) $151 200$
D) $60 480$
E) $50 400$
Queste sono disposizioni semplici quindi la risposta è $ (9!)/((9-6)!) =60480 $ (la D)
4) Risolvendo l'equazione $D_(x,2) + C_(x,x-2) =45$ arrivi all'equazione di secondo grado:
A) $ x^2+x-30=0 $
B) $ x^2-4x-45=0 $
C) $ x^2-x-30=0 $
D) $ x^2+4x-45 $
E) $ 2x^2+2x-45=0 $
$D_(x,2)$ rappresenta disposizioni semplici di $x$ elementi a $2$ a $2$, quindi $D_(x,2)= (x!)/((x-2)!)$;
$C_(x,x-2)$ rappresenta invece combinazioni semplici di $x$ elementi a $(x-2)$ a $(x-2)$, cioè $C_(x,x-2)=(x!)/((x-2)!*2!)$
L'equazione diventa quindi:
$(x!)/((x-2)!)+(x!)/((x-2)!*2!)=45 $
Proseguendo:
$x*(x-1)+(1/2)*x*(x-1)=45$
$x^2-x+0.5x^2-0.5x=45$
$2x^2-2x+x^2-x=90$
$3x^2-3x-90=0$
$x^2-x-30=0$
Per completezza le Condizioni di esistenza sarebbero: $x in NN ,x>=2$
(x=6).
1) Utilizziamo sette lampadine colorate per creare un festone luminoso da stendere fra due pali. Le lampadine hanno tutte colore diverso tranne tre che sono rosse. I possibili modi con cui i colori si possono susseguire sono:
A) $5040$
B) $840$
C) $35$
D) $343$
E) $210$
Io l'ho svolto pensandolo come delle permutazioni con ripetizione, quindi la risposta sarebbe la B): $ (7!)/(3!) =840 $.
2) Un'impresa codifica le proprie merci utilizzando tre cifre non nulle e non necessariamente diverse. Il numero di merci che può codificare con questa tipologia di codice è:
A) $729$
B) $6561$
C) $1000$
D) $720$
E) $504$
Io l'ho svolto con le disposizioni con ripetizione, quindi $ 9^3 =729 $ disposizioni diverse (la A)
3) Un codice di sicurezza è formato da sei cifre tutte diverse ed è escluso lo zero. Il numero totale dei possibili codici è:
A) $15 120$
B) $120 960$
C) $151 200$
D) $60 480$
E) $50 400$
Queste sono disposizioni semplici quindi la risposta è $ (9!)/((9-6)!) =60480 $ (la D)
4) Risolvendo l'equazione $D_(x,2) + C_(x,x-2) =45$ arrivi all'equazione di secondo grado:
A) $ x^2+x-30=0 $
B) $ x^2-4x-45=0 $
C) $ x^2-x-30=0 $
D) $ x^2+4x-45 $
E) $ 2x^2+2x-45=0 $
$D_(x,2)$ rappresenta disposizioni semplici di $x$ elementi a $2$ a $2$, quindi $D_(x,2)= (x!)/((x-2)!)$;
$C_(x,x-2)$ rappresenta invece combinazioni semplici di $x$ elementi a $(x-2)$ a $(x-2)$, cioè $C_(x,x-2)=(x!)/((x-2)!*2!)$
L'equazione diventa quindi:
$(x!)/((x-2)!)+(x!)/((x-2)!*2!)=45 $
Proseguendo:
$x*(x-1)+(1/2)*x*(x-1)=45$
$x^2-x+0.5x^2-0.5x=45$
$2x^2-2x+x^2-x=90$
$3x^2-3x-90=0$
$x^2-x-30=0$
Per completezza le Condizioni di esistenza sarebbero: $x in NN ,x>=2$
(x=6).
scusatemi se mi intrometto, ma non ho capito l'ultimo esercizio che hai messo... me lo sapresti spiegare? 
comunque ho risolto anche io tutti i tuoi quesiti e i risultati sono venuti uguali, nella numero 3 io utilizzo un metodo più veloce per non perdere tempo, comunque è giusta così.
un ultima cosa, sapresti dirmi da che pdf prendi questi esercizi?
comunque ho risolto anche io tutti i tuoi quesiti e i risultati sono venuti uguali, nella numero 3 io utilizzo un metodo più veloce per non perdere tempo, comunque è giusta così.
un ultima cosa, sapresti dirmi da che pdf prendi questi esercizi?
Gli esercizi li trovo sul libro matematica.verde 4 della Zanichelli (Bergamini, Trifone, Barozzi). Tutti gli esercizi a crocette non hanno la soluzione per cui volevo accertarmi di averli svolti correttamente. Ho il libro in forma cartacea perché è quello in adozione nella mia scuola.
L'ultimo esercizio è un'equazione con disposizioni semplici e combinazioni semplici. Per svilupparle mi è più comodo passare per la loro scrittura con i fattoriali, ma non è fondamentale. Non saprei come meglio spiegarlo che come ho fatto nella soluzione, anche se potrei essermi sbagliato, inconsapevolmente, nel risolverlo.
Grazie per la conferma della correttezza dei primi tre.
Comunque posso provare a spiegartelo meglio se mi indichi un dubbio preciso;
L'ultimo esercizio è un'equazione con disposizioni semplici e combinazioni semplici. Per svilupparle mi è più comodo passare per la loro scrittura con i fattoriali, ma non è fondamentale. Non saprei come meglio spiegarlo che come ho fatto nella soluzione, anche se potrei essermi sbagliato, inconsapevolmente, nel risolverlo.
Grazie per la conferma della correttezza dei primi tre.
Comunque posso provare a spiegartelo meglio se mi indichi un dubbio preciso;
Ps.: Il metodo più veloce per il tre qual'è? Per caso è il "metodo delle possibilità"?
No, è tipo un calcolo che mi faccio in mente io...
nel senso... so che che devo scrivere un numero a sei cifre utilizzando 9 numeri(10 se ci fosse stato anche lo 0), quindi faccio semplicemente il calcolo $9*8*7*6*5*4=60480$... tutto qui... ma è in pratica la stessa formula.
nel senso... so che che devo scrivere un numero a sei cifre utilizzando 9 numeri(10 se ci fosse stato anche lo 0), quindi faccio semplicemente il calcolo $9*8*7*6*5*4=60480$... tutto qui... ma è in pratica la stessa formula.
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