Esercizio di analisi

[silber]

Per quali valori di k la funzione

[math]y= \frac{1}{7}[/math]

[math]\frac{7x-13}{7x^2-2(k-1)x+2k}[/math]

presenta due asintoti paralleli all'asse y? e per quali valori la distanza tra i due asintoti è uguale a 1/2?

ho provato a fare qualcosa ma non ne vengo a capo. Un aiuto sarebbe ben accetto, grazie mille

[aleio1]

dovresti riscrivere la funzione..c'è quell' 1/7 che non si capisce che ruolo abbia..

Aggiunto 2 minuti più tardi:

insomma..specifica con delle parentesi numeratori e denominatori..

esempio se hai

[math]\frac{4x^2+5x-1}{4x+3}[/math]

scrivi (4x^2+5x-1)/(4x+3)

o ancora meglio cerca di usare il LaTex

[silber]

l'1/7 moltiplica la frazione.

così è scritto l'esercizio sul libro, comunque ora cerco di sistemarlo con questo latex anche se non so come si usa...grazie per l'attenzione

Aggiunto 5 minuti più tardi:

ecco così è tale e quale a quella sul libro

[aleio1]

per avere un asintoto orizzontale bisogna che sia

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty[/math]

.

Nel caso della tua funzione un caso simile si presenta quando il denominatore è uguale a 0.

Il denominatore è un polinomio di secondo grado dipendente da un parametro

[math]k[/math]

. Esso si annulla solo nel caso in cui il suo discriminante sia maggiore o uguale a 0. Dunque:

[math]\Delta_{7x^2-2(k-1)x+2k}=4(k^2-2k+1)-56k=4k^2-64k+4\ge0\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow k\le 8-3sqrt7 \ \vee \ k\ge 8+3sqrt7[/math]

Dato che l'esercizio chiede che vi siano 2 asintoti il delta del denominatore deve essere strettamente maggiore di 0 (perchè si deve annullare in due punti distinti), dunque la funzione ha 2 asintoti verticali per i seguenti valori di

[math]k[/math]

[math]\Leftrightarrow k< 8-3sqrt7 \ \vee \ k> 8+3sqrt7[/math]

Per la distanza pensaci tu..:)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

trova i valori di x per cui il denominatore si annulli. Saranno 2 valori in funzione di k. Imponi che la loro distanza sia quella che ti serve e hai fatto..

[silber]

grazie mille

per il punto uno: tutto ok ho capito il procedimento logico, solo che i risultati del libro sono

[math]k2+\sqrt{3}[/math]

ambedue i segni comprendo l'uguale che non so come si mette, pardon!

il secondo punto più tardi mi ci metto

[aleio1]

non saprei..i calcoli penso siano giusti..

Aggiunto 7 minuti più tardi:

sono quasi certo della bontà del mio svolgimento e dei miei calcoli :)

Aggiunto 39 minuti più tardi:

sai che un'equazione di secondo grado può avere al massimo 2 soluzioni.

Ne ha 2 distinte se e solo se il discriminante è strettamente maggiore di 0
Ne ha 1 (in realtà sarebbero due coincidenti) se e solo se il discriminante è uguale a 0
Non ne ha nessuna se e solo se il discriminante è strettamente minore di 0

Detto ciò, affinchè tu abbia 2 asintoti verticali è necessario che il denominatore si annulli in 2 punti distinti, perchè se si annullasse in un solo punto potresti avere al massimo un asintoto verticale.

Per questo abbiamo posto che il delta fosse maggiore strettamente di 0.

[silber]

ho trovato l'errore: era che il 7 della prima frazione ha moltiplicato solo il primo membro del polinomio del denominatore.

in ogni caso potresti spiegarmi il perchè del porre maggiore o uguale a 0 il delta, non ho ben capito, scusami se ti disturbo ma è perchè quando chiedo un aiuto vorrei pure capire