Esercizio coniche
Determina il luogo dei punti $P$ del piano tali che il rapporto fra la distanza dal punto $F(1;-2)$ e la distanza dalla retta $d$ di equazione $2x-1=0$ è uguale è 2.
Ho già determinato che il luogo dei punti è un'iperbole, i due fuochi sono $(1;-2)$ e $(-1/3; -2)$, la sua equazione è $(x-1/3)^2/(1/9)- (y+2)^2/(1/3) = 1$ e quindi è la corrispondente della traslazione dell'iperbole $x^2/(1/9) - y^2/(1/3) = 1$ secondo il vettore $(1/3; -2)$.
Avevo intenzione di determinarmi anche l'equazione della seconda direttrice. Come posso fare?
Ho già determinato che il luogo dei punti è un'iperbole, i due fuochi sono $(1;-2)$ e $(-1/3; -2)$, la sua equazione è $(x-1/3)^2/(1/9)- (y+2)^2/(1/3) = 1$ e quindi è la corrispondente della traslazione dell'iperbole $x^2/(1/9) - y^2/(1/3) = 1$ secondo il vettore $(1/3; -2)$.
Avevo intenzione di determinarmi anche l'equazione della seconda direttrice. Come posso fare?
Risposte
Non ho fatto i conti, ma mi pare un risultato sorprendente... Se il rapporto fra quelle due distanza fosse 1 (distanze uguali) il luogo dei punti sarebbe una parabola: se è 2 diventa un'iperbole? E se fosse 1/2?
Intendiamoci, non è una critica... però mi sembra strano
Intendiamoci, non è una critica... però mi sembra strano
Se fosse $1/2$ sarebbe un'ellisse.
Dato un punto F detto "fuoco" e una retta d detta "direttrice", il rapporto $e = bar(PF) /bar(PH)$ è chiamato "eccentricità"; essendo un rapporto tra grandezze geometriche, l'eccentricità è un valore non negativo.
Francamente è la prima volta che sento parlare di direttrice di una iperbole. Il punto F è uno dei fuochi. Se volessimo chiamare direttrice la $2x-1=0$ (retta verticale di equazione $x=1/2$), data la simmetria dell'iperbole rispetto al suo centro (e, dopo la traslazione, rispetto all'origine degli assi e agli assi stessi), si può calcolare la simmetrica della retta data (anch'essa, come il fuoco, traslata).
Altra possibilità: calcolate con facilità le coordinate dell'altro fuoco, trovare l'equazione della retta la cui distanza dal secondo fuoco rispetta lo stesso rapporto dato per il primo fuoco, ma questo secondo metodo è certamente più lungo e laborioso.
Ma, ripeto, la retta data è una direttrice? Io non te lo so dire………………….
Spero che il mio intervento ti sia di qualche utilità.
Altra possibilità: calcolate con facilità le coordinate dell'altro fuoco, trovare l'equazione della retta la cui distanza dal secondo fuoco rispetta lo stesso rapporto dato per il primo fuoco, ma questo secondo metodo è certamente più lungo e laborioso.
Ma, ripeto, la retta data è una direttrice? Io non te lo so dire………………….
Spero che il mio intervento ti sia di qualche utilità.
O non sarà che la seconda"direttrice" sia perpendicolare alla prima?
Rifletterei anche su questo........
Rifletterei anche su questo........
@teorema55:
buona la prima!
Le coniche a centro (iperboli ed ellissi) hanno due coppie fuoco_direttrice simmetriche rispetto al centro e, come ha già ben detto Sara, i punti della conica sono individuati dal rapporto delle loro distanze dai componenti di una (indifferentemente) di queste coppie.
Ciao
buona la prima!
Le coniche a centro (iperboli ed ellissi) hanno due coppie fuoco_direttrice simmetriche rispetto al centro e, come ha già ben detto Sara, i punti della conica sono individuati dal rapporto delle loro distanze dai componenti di una (indifferentemente) di queste coppie.
Ciao
Ringrazio tutti per le risposte.
@Teorema55: al secondo metodo che hai proposto ci avevo pensato anch'io, ma ho lasciato perdere perché mi sembrava quello meno efficiente. Al primo non avevo pensato, e mi sembra molto buona come risoluzione: sappiamo che $x=1/2$ rappresenta una direttrice dell'iperbole traslata; poiché la seconda direttrice deve essere simmetrica rispetto al centro $C(1/3;-2)$, quest'ultima avrà equazione $x= 2/3 - 1/2 => 6x - 1 = 0$.
Alternativamente avrei potuto anche applicare una formula, che sfortunatamente ho visto solo dopo
@Teorema55: al secondo metodo che hai proposto ci avevo pensato anch'io, ma ho lasciato perdere perché mi sembrava quello meno efficiente. Al primo non avevo pensato, e mi sembra molto buona come risoluzione: sappiamo che $x=1/2$ rappresenta una direttrice dell'iperbole traslata; poiché la seconda direttrice deve essere simmetrica rispetto al centro $C(1/3;-2)$, quest'ultima avrà equazione $x= 2/3 - 1/2 => 6x - 1 = 0$.
Alternativamente avrei potuto anche applicare una formula, che sfortunatamente ho visto solo dopo
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