Esercizio con polinomi

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Buonasera a tutti e buon anno nuovo, speriamo che ci regali momenti migliori e un po' meno monotoni.

Ecco il mio problema, che è tratto da un esame di ammissione al collegio Bernardo Clesio di Trento (a.a. 2012-2013). Lo metto come spoiler per evitare di appesantire la lettura.

Descrivere tutti i polinomi \(p(x)\) con coefficienti reali tali che

\(p(p(x))=p(-x)^2\)

per ogni numero reale \(x\).

La domanda, forse un po' imbarazzante, è... che cosa devo fare esattamente?
Descrivere la relazione e le operazioni che contiene è banale. Allora mi sono messo a cercare polinomi di grado 0 e 1 che soddisfacessero l'equazione.

- Grado 0. \(a_0=a_0^2\), dunque \(a_0=0\) oppure \(a_0=1\).
- Grado 1. \(a_1(a_1x+a_0)+a_0=(a_0-a_1x)^2\), da cui \(a_1^2x^2-(a_1^2+2a_0a_1)x+a_0^2-a_0a_1-a_0=0\); questa equazione deve essere sempre verificata, ma un'equazione di secondo grado non può essere indeterminata. Forse dovrei eguagliare a zero tutti i coefficienti più il termine noto? Ma è comunque un'operazione che non saprei tradurre e formalizzare in termini generali, per polinomi di *qualsiasi* grado. Magari devo concludere che gli unici polinomi che soddisfano quella equazione sono le costanti 0 e 1?[/list:u:212bxg4f]
Non sono andato oltre perché esce fuori un'equazione di quarto grado e c'è da spararsi.
Prima di fare tutto questo, avevo scritto un generico polinomio in forma di sommatoria:


\(p(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^n a_{n-j}x^{n-j},\;\;\;\;\;\;\text{con}\;n=\text{deg}[p(x)].\)

E, trovando un'espressione per \(p(p(x))\) e per \(p(-x)^2\) e sostituendole nella relazione data dal problema, mi sono ricavato questa bestia:


\(\displaystyle\sum_{j=0}^n \left[a_{n-j}\left(\displaystyle\sum_{j=0}^n a_{n-j}x^{n-j}\right)^{n-j}-a_{n-j}(-1)^{n-j}x^{n-j}\displaystyle\sum_{j=0}^n a_{n-j}(-1)^{n-j}x^{n-j}\right]=0\)

che genera un'equazione nella variabile \(x\) di grado \(2n\), al variare di \(n\in\mathbb{N}\). È bella da vedere, ma non so che farmene.
Qualcuno ha dei consigli?

[Pierlu11]

Io inizierei a ragionare sul grado che $p(x)$ deve avere. Osservo che $p(-x)^2$ ha grado $2\deg p(x)$ mentre $p(p(x))$ avrà grado $(\deg p(x))^2$. Dunque, $n=\deg p(x)$, dovrà accadere che
\[
2n=n^2
\]
ovvero $n=0$ (e già hai trovato le possibili soluzioni) oppure $n=2$.

[_clockwise]

Grazie! Non ci avevo minimamente pensato, ovvio che il grado deve essere lo stesso. Ho provato con un polinomio di secondo grado del tipo \(ax^2+bx+c=0\) e ho ricavato l'equazione \((a^3-a^2)x^4+(2a^2b+2ab)x^3+(2a^2c+ab-b^2-2ac)x^2+(ab^2+2abc+b^2+2bc)x+ac^2+bc+c-c^2=0\). Annullando tutti i coefficienti, se ho fatto bene i calcoli solo la terna \((1,0,0)\), e quindi il polinomio \(p(x)=x^2\), soddisfa le cinque equazioni del sistema. Effettivamente in questo caso \(p(p(x))=p(-x)^2\). Bah, speriamo di riuscire a passare 'sto test di ammissione. Grazie ancora!

[Pierlu11]

Di nulla e in bocca al lupo per il test!