Esercizio con logaritmo....
Salve ho provato a risolvere questo logaritmo ma non avendo il risultato e non fidandomi di me non so se va bene.
Vi ringrazio in anticipo se mi potete dare una mano...
Allora l'esercizio è:
$log_(2)(x)-log_(2)(x+2)>=0$
che diventa: $log_(2)x/(x+2)>=0$ L'insieme di definizione è: $D:{x/(x+2)>0}$ $rArr$ ${(x>0,if AA x in RR^+ -{0}),(x+2>0,if AA x>(-2)-{0}):}$ $rarr$ $D:{x>(-2), x!=0}$;
quindi abbiamo: $log_(2)x/(x+2)>=0$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(2)^0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=1):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(x+2)/(x+2)):}$ $rArr$ ${(D),(x>=x+2):}$ $rArr$ ${(D,if .),(x-x>=+2,if 0>=+2 rarr mai):}$
Quindi lesercizio è impossibile $\nexists x in RR$... giusto???
Vi ringrazio in anticipo se mi potete dare una mano...
Allora l'esercizio è:
$log_(2)(x)-log_(2)(x+2)>=0$
che diventa: $log_(2)x/(x+2)>=0$ L'insieme di definizione è: $D:{x/(x+2)>0}$ $rArr$ ${(x>0,if AA x in RR^+ -{0}),(x+2>0,if AA x>(-2)-{0}):}$ $rarr$ $D:{x>(-2), x!=0}$;
quindi abbiamo: $log_(2)x/(x+2)>=0$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(2)^0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=1):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(x+2)/(x+2)):}$ $rArr$ ${(D),(x>=x+2):}$ $rArr$ ${(D,if .),(x-x>=+2,if 0>=+2 rarr mai):}$
Quindi lesercizio è impossibile $\nexists x in RR$... giusto???
Risposte
hai sbagliato a trovare $D$ che non è di certo $x>2 ^^ x!=0$,
poi nel sistema finale compare ad un certo punto $x/(x+2)>=0$ mentre dopo lo $0$ si trasforma per magia in $1$, ma penso sia un errore di scrittura.
il risultato è giusto, ti bastava vedere all'inizio che $log(x)>=log(x+2)$ è impossibile perchè la funzione logaritmica è strettamente crescente, ma anche come hai fatto tu va bene.
poi nel sistema finale compare ad un certo punto $x/(x+2)>=0$ mentre dopo lo $0$ si trasforma per magia in $1$, ma penso sia un errore di scrittura.
il risultato è giusto, ti bastava vedere all'inizio che $log(x)>=log(x+2)$ è impossibile perchè la funzione logaritmica è strettamente crescente, ma anche come hai fatto tu va bene.
Hai ragione è $AA x>(-2)-{0}$
Ma nel sistema ho fatto $\{(D),(x/(x+2)>=2^0):}$ e quindi per proprietà delle potenze un numero elevato a $0$ fa $1$ per questo c'è quell'uno nel sistema...
Ma nel sistema ho fatto $\{(D),(x/(x+2)>=2^0):}$ e quindi per proprietà delle potenze un numero elevato a $0$ fa $1$ per questo c'è quell'uno nel sistema...
"domy90":
Hai ragione è $AA x>(-2)-{0}$
ma no!! hai riscritto la stessa cosa!!
io avevo sbagliato, avevo scritto $2$ invece di $-2$ ma ancora non hai capito l'errore!
poi per quel che riguarda il sistema, hai fatto un errore di battitura penso, è ok.
No mi sa che ancora non ho capito dovè l'errore.. forse per il fatto che $-2$ non è accettato??? A me sembra buono...
Scusa nel sistema non ho capito dovre potrei aver sbagliato...
Scusa nel sistema non ho capito dovre potrei aver sbagliato...
allora il problema è questo:
trovare le condizioni di esistenza di $log_2 x - log_2 (x+2)>=0$
cosa devi imporre? che esistano entrambi i logaritmi.
prova a farlo e vediamo cosa viene fuori (di sicuro non $x>(-2)$...)
trovare le condizioni di esistenza di $log_2 x - log_2 (x+2)>=0$
cosa devi imporre? che esistano entrambi i logaritmi.
prova a farlo e vediamo cosa viene fuori (di sicuro non $x>(-2)$...)
Hai ragione esce $AA x>0$
Capito, quindi quando mi trovo in questo caso prima di trasformarlo con la proprietà dei logaritmi, devo prima trovare il dominio e poi procedere con la trasformazione giusto?...
Io pensavo che fosse la stessa cosa....
Capito, quindi quando mi trovo in questo caso prima di trasformarlo con la proprietà dei logaritmi, devo prima trovare il dominio e poi procedere con la trasformazione giusto?...
Io pensavo che fosse la stessa cosa....
infatti ti esce la stessa cosa, è che il sistema a cui arrivi
${(x>0),(x+2>0):}$
non ha soluzione $x>(-2)$, ma a sua volta $x>0$ ti pare?
${(x>0),(x+2>0):}$
non ha soluzione $x>(-2)$, ma a sua volta $x>0$ ti pare?
Si si ora mi trovo quindi era la stessa cosa solo che io avevo sbagliato capire....
Ma per il fatto del sistema che ho elevato la base del logaritmo a zero va bene????
Ma per il fatto del sistema che ho elevato la base del logaritmo a zero va bene????
se la tua domanda è: è vero che $2^0=1$ ?
allora sì. e comunque ti ho già detto che a parte quelle piccole sviste che abbiamo sistemato, l'esercizio va bene.
allora sì. e comunque ti ho già detto che a parte quelle piccole sviste che abbiamo sistemato, l'esercizio va bene.
ok grazie mille....
Un altra domanda volevo farti: tu hai detto che l'esercizio era impossibile e che bastava vederlo dal fatto che $log(x)>=log(x+2)$ per il motivo che il logaritmo è strettamente crescente... Puoi farmi capire meglio questa cosa???
Un altra domanda volevo farti: tu hai detto che l'esercizio era impossibile e che bastava vederlo dal fatto che $log(x)>=log(x+2)$ per il motivo che il logaritmo è strettamente crescente... Puoi farmi capire meglio questa cosa???
calcoli in logaritmo di una certa $x$, che avrà un suo valore; poi calcoli il logaritmo di $x+2$, che è più a destra nella retta (pensa al grafico) e quindi avrà un valore maggiore. tutto qui.
il fatto che il logaritmo sia una funzione strettamente crescente vuol dire che maggiore è l'argomento, maggiore è il risultato.
il fatto che il logaritmo sia una funzione strettamente crescente vuol dire che maggiore è l'argomento, maggiore è il risultato.
Cioè devo scegliere io la $x$ e poi a questa $x$ aggiungo $+2$???
ma no che vuol dire..
per ogni $x$ è vera questa cosa..
per ogni $x$ è vera questa cosa..
Ah ho capito quindi l'implicazione era sbagliata, cioè era impossibile per il fatto che c'era $>=$ quando poi ci doveva essere solo e soltanto $>$????
Cioè è impossibile poichè non può mai essere uguale ma deve essere strettamente maggiore...
O no?
Cioè è impossibile poichè non può mai essere uguale ma deve essere strettamente maggiore...
O no?
"domy90":
quindi abbiamo: $log_(2)x/(x+2)>=0$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(2)^0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=1):}$
ma in questo caso non è una fratta????
e quindi viene: ${(D),(x/(x+2)-1>=0):}$ $rarr$ ${(D),((x-1(x+2))/(x+2)>=0):}$ $rarr$ ${(D),((x-x+2)/(x+2)>=0):}$ $rarr$ ${(D),(2/(x+2)>=0):}$ ????
salve a tutti, è da un pò che non posto in questo topic, se per voi non è un problema vorrei postare un esercizio con logaritmo....non avendo il risultato non so se l'ho svolto bene...
l'esercizio è: $2log_(2)(2x-1)< log_(2)(x^2-9)+1$ il dominio $D:{(2x-1>0),(x^2-9>0):} rarr {(x>1/2),(x<-3 uuu x>3):} rarr x>3$
$log_(2)(2x-1)^2< log_(2)(x^2-9)+1$
$log_(2)(2x-1)^2 -log_(2)(x^2-9)<+1$
$log_(2)[(2x-1)^2/(x^2-9)]<+1 rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)<2):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)-2<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),(((2x-1)^2-2(x^2-9))/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((4x^2-4x+1-2x^2+18)/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x^2-4x+19)/(x^2-9)<0):}$
per la prima disequazione del sistema cerco il segno più da: $(2x-1)^2/(x^2-9)>0$ $rarr$ ${((2x-1)^2>0),((x^2-9)>0):} rarr {(AA x !=1/2),(x<-3 uuu x>3):}$ $rarr x<-3uuux>3$
per la seconda disequazione del sistema cerco il segno meno da: $(2x^2-4x+19)/(x^2-9)<0$ $rarr$ ${(2x^2-4x+19>0, if AA x),((x^2-9)>0, if x<-3uuux>3):}$ $rarr -3
l'esercizio è: $2log_(2)(2x-1)< log_(2)(x^2-9)+1$ il dominio $D:{(2x-1>0),(x^2-9>0):} rarr {(x>1/2),(x<-3 uuu x>3):} rarr x>3$
$log_(2)(2x-1)^2< log_(2)(x^2-9)+1$
$log_(2)(2x-1)^2 -log_(2)(x^2-9)<+1$
$log_(2)[(2x-1)^2/(x^2-9)]<+1 rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)<2):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)-2<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),(((2x-1)^2-2(x^2-9))/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((4x^2-4x+1-2x^2+18)/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x^2-4x+19)/(x^2-9)<0):}$
per la prima disequazione del sistema cerco il segno più da: $(2x-1)^2/(x^2-9)>0$ $rarr$ ${((2x-1)^2>0),((x^2-9)>0):} rarr {(AA x !=1/2),(x<-3 uuu x>3):}$ $rarr x<-3uuux>3$
per la seconda disequazione del sistema cerco il segno meno da: $(2x^2-4x+19)/(x^2-9)<0$ $rarr$ ${(2x^2-4x+19>0, if AA x),((x^2-9)>0, if x<-3uuux>3):}$ $rarr -3
no, è corretto. è più semplice dire che per $x>3$ il denominatore è positivo, per cui la frazione ha lo stesso segno del numeratore: nel caso della seconda disequazione quindi non è mai verificato che la frazione sia $<0$ (nel dominio).
ok quindi avrei dovuto rendermene conto nel momento in cui ho imposto che $(2x-1)^2/(x^2-9)<2$?...
no, dovevi arrivare alla formula finale per il numeratore.
solo che hai ripetuto tutto il resto, compreso il segno del denominatore, anche dopo che l'avevi fatto per trovare il dominio e dopo che avevi già scritto $x>3$.
se vogliamo, quel calcolo che manca dopo questo passaggio è l'unica novità.
solo che hai ripetuto tutto il resto, compreso il segno del denominatore, anche dopo che l'avevi fatto per trovare il dominio e dopo che avevi già scritto $x>3$.
se vogliamo, quel calcolo che manca dopo questo passaggio è l'unica novità.
cioè quel'è la formula finale per il numeratore?
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