Esercizio con logaritmo....
Salve ho provato a risolvere questo logaritmo ma non avendo il risultato e non fidandomi di me non so se va bene.
Vi ringrazio in anticipo se mi potete dare una mano...
Allora l'esercizio è:
$log_(2)(x)-log_(2)(x+2)>=0$
che diventa: $log_(2)x/(x+2)>=0$ L'insieme di definizione è: $D:{x/(x+2)>0}$ $rArr$ ${(x>0,if AA x in RR^+ -{0}),(x+2>0,if AA x>(-2)-{0}):}$ $rarr$ $D:{x>(-2), x!=0}$;
quindi abbiamo: $log_(2)x/(x+2)>=0$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(2)^0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=1):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(x+2)/(x+2)):}$ $rArr$ ${(D),(x>=x+2):}$ $rArr$ ${(D,if .),(x-x>=+2,if 0>=+2 rarr mai):}$
Quindi lesercizio è impossibile $\nexists x in RR$... giusto???
Vi ringrazio in anticipo se mi potete dare una mano...
Allora l'esercizio è:
$log_(2)(x)-log_(2)(x+2)>=0$
che diventa: $log_(2)x/(x+2)>=0$ L'insieme di definizione è: $D:{x/(x+2)>0}$ $rArr$ ${(x>0,if AA x in RR^+ -{0}),(x+2>0,if AA x>(-2)-{0}):}$ $rarr$ $D:{x>(-2), x!=0}$;
quindi abbiamo: $log_(2)x/(x+2)>=0$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(2)^0):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=1):}$ $rArr$ ${(D),(x/(x+2)>=(x+2)/(x+2)):}$ $rArr$ ${(D),(x>=x+2):}$ $rArr$ ${(D,if .),(x-x>=+2,if 0>=+2 rarr mai):}$
Quindi lesercizio è impossibile $\nexists x in RR$... giusto???
Risposte
quella che hai trovato tu:
$2x^2-4x+19$
$2x^2-4x+19$
la avrei dovuto rendermene conto? giusto?
e qual'è il calcolo che manca?
e qual'è il calcolo che manca?
non manca nulla.
tu hai semplicemente scritto tutti i passaggi, anche ripetuti, facendo anche i vari casi che già sapevi che erano in contraddizione con con quanto trovato prima (cioè erano soluzioni non accettabili perché fuori dal dominio): se vogliamo, il tuo è stato eccesso di zelo.
se vuoi invece riferirti espressamente a quel passaggio, allora non è che avresti risparmiato granché: solo che quando tu hai una disequazione del tipo $"frazione"<0$ di cui sai già (perché l'hai studiato in precedenza) che $"denominatore">0$, puoi anche non sviluppare tutti i casi e porre semplicemente $"numeratore"<0$. tutto qui, non mi pare neanche una cosa tanto particolare.
tu hai semplicemente scritto tutti i passaggi, anche ripetuti, facendo anche i vari casi che già sapevi che erano in contraddizione con con quanto trovato prima (cioè erano soluzioni non accettabili perché fuori dal dominio): se vogliamo, il tuo è stato eccesso di zelo.
se vuoi invece riferirti espressamente a quel passaggio, allora non è che avresti risparmiato granché: solo che quando tu hai una disequazione del tipo $"frazione"<0$ di cui sai già (perché l'hai studiato in precedenza) che $"denominatore">0$, puoi anche non sviluppare tutti i casi e porre semplicemente $"numeratore"<0$. tutto qui, non mi pare neanche una cosa tanto particolare.
ok h capito riscrivo l'esercizio in ordine...
l'esercizio è: $2log_(2)(2x-1)< log_(2)(x^2-9)+1$ il dominio $D:{(2x-1>0),(x^2-9>0):} rarr {(x>1/2),(x<-3 uuu x>3):} rarr x>3$
$log_(2)(2x-1)^2< log_(2)(x^2-9)+1$
$log_(2)(2x-1)^2 -log_(2)(x^2-9)<+1$
$log_(2)[(2x-1)^2/(x^2-9)]<+1 rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)<2):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)-2<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),(((2x-1)^2-2(x^2-9))/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((4x^2-4x+1-2x^2+18)/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2>0),((2x^2-4x+19)<0):}$ $rarr {( AA x !=1/2),(mai):}$ $rarr S=nexists x in RR$
va bene così o c'è ancora qualche errore?
l'esercizio è: $2log_(2)(2x-1)< log_(2)(x^2-9)+1$ il dominio $D:{(2x-1>0),(x^2-9>0):} rarr {(x>1/2),(x<-3 uuu x>3):} rarr x>3$
$log_(2)(2x-1)^2< log_(2)(x^2-9)+1$
$log_(2)(2x-1)^2 -log_(2)(x^2-9)<+1$
$log_(2)[(2x-1)^2/(x^2-9)]<+1 rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)<2):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)-2<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),(((2x-1)^2-2(x^2-9))/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((4x^2-4x+1-2x^2+18)/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2>0),((2x^2-4x+19)<0):}$ $rarr {( AA x !=1/2),(mai):}$ $rarr S=nexists x in RR$
va bene così o c'è ancora qualche errore?
"domy90":
ok h capito riscrivo l'esercizio in ordine...
l'esercizio è: $2log_(2)(2x-1)< log_(2)(x^2-9)+1$ il dominio $D:{(2x-1>0),(x^2-9>0):} rarr {(x>1/2),(x<-3 uuu x>3):} rarr x>3$
$log_(2)(2x-1)^2< log_(2)(x^2-9)+1$
$log_(2)(2x-1)^2 -log_(2)(x^2-9)<+1$
$log_(2)[(2x-1)^2/(x^2-9)]<+1 rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)<2):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)-2<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),(((2x-1)^2-2(x^2-9))/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((4x^2-4x+1-2x^2+18)/(x^2-9)<0):}$ $rarr {((2x-1)^2>0),((2x^2-4x+19)<0):}$ $rarr {( AA x !=1/2),(mai):}$ $rarr S=nexists x in RR$
va bene così o c'è ancora qualche errore?
mi sembri un po' troppo incerto.
vuoi per forza trovare errori?
ebbene, vedendo tutti i passaggi, nel momento che "accorci", proprio nel senso che ti dicevo, "sembra azzardato".
in realtà, nello studio del dominio, avevi imposto non solo $(x^2-9)>0$, ma anche $2x-1>0$: che pensi che $(2x-1)^2$ possa non essere positivo?
io sostituirei la prima disequazione con il risultato del dominio, e porterei avanti la seconda disequazione: con il risultato del dominio la semplificazione finale appare anche meno azzardata.
${(x>3),(log_(2)[(2x-1)^2/(x^2-9)]<+1) :} rarr {(x>3),((2x-1)^2/(x^2-9)>0),((2x-1)^2/(x^2-9)<2):}$ $rarr {(x>3),((2x-1)^2/(x^2-9)-2<0):}$ $rarr {(x>3),(((2x-1)^2-2(x^2-9))/(x^2-9)<0):}$ $rarr {(x>3),((4x^2-4x+1-2x^2+18)/(x^2-9)<0):}$ $rarr {(x>3),((2x^2-4x+19)<0):}$ $rarr {( x >3),("per nessun "x in RR):}$ $rarr S : nexists x in RR$ (oppure $S=emptyset$),
se vogliamo essere pignoli,
perché un insieme (l'insieme $S$ delle soluzioni) non può essere $=$ ad una proposizione.
ma questo proprio perché hai fatto emergere il massimo della pignoleria ...
ciao!
"adaBTTLS":
mi sembri un po' troppo incerto.
vuoi per forza trovare errori?
perchè voglio cercare di evitarli anche se sono piccoli....
"adaBTTLS":
in realtà, nello studio del dominio, avevi imposto non solo $(x^2-9)>0$, ma anche $2x-1>0$: che pensi che $(2x-1)^2$ possa non essere positivo?
pensavo che non fosse la stessa cosa cioè una mi da $x<-3uuux>3$ e l'altra $AA x !=1/2$.. solo per questo, se no l'avrei sostituita anche io con il dominio...
però giustamente non si parla di soluzione ma positività o no?
"adaBTTLS":
[...]$S : nexists x in RR$ (oppure $S=emptyset$),
se vogliamo essere pignoli,
perché un insieme (l'insieme $S$ delle soluzioni) non può essere $=$ ad una proposizione.
ma questo proprio perché hai fatto emergere il massimo della pignoleria ...
vabbè ma questo fatto di $S$ che non può essere $=$ ad una proposizione non è un errore piccolo è come se io dico, in grammatica: l'articolo "il" stà per x, non ha senso (e io in grammatica faccio pena, no che in matematica sia un genio)..... quindi non sei stata pignola anzi a me fa tanto piacere....
lo studio della positività lo hai fatto bene.
la questione è che il risultato andava messo a sistema con il risultato del dominio.
visto che la prima disequazione non presentava restrizioni rispetto al dominio, con un sistema a tre disequazioni, quella con "l'argomento del logaritmo trasformato" era di fatto inutile:
quella veniva fuori dall'aver messo in un'unica frazione gli argomenti che avevi già precedentemente imposti come positivi, quindi poteva essere tranquillamente sostituita dal risultato del dominio.
... mi fa piacere che la "pignoleria" ti ha portato a riflettere ...
la questione è che il risultato andava messo a sistema con il risultato del dominio.
visto che la prima disequazione non presentava restrizioni rispetto al dominio, con un sistema a tre disequazioni, quella con "l'argomento del logaritmo trasformato" era di fatto inutile:
quella veniva fuori dall'aver messo in un'unica frazione gli argomenti che avevi già precedentemente imposti come positivi, quindi poteva essere tranquillamente sostituita dal risultato del dominio.
... mi fa piacere che la "pignoleria" ti ha portato a riflettere ...
"adaBTTLS":
la questione è che il risultato andava messo a sistema con il risultato del dominio.
visto che la prima disequazione non presentava restrizioni rispetto al dominio, con un sistema a tre disequazioni, quella con "l'argomento del logaritmo trasformato" era di fatto inutile:
quella veniva fuori dall'aver messo in un'unica frazione gli argomenti che avevi già precedentemente imposti come positivi, quindi poteva essere tranquillamente sostituita dal risultato del dominio.
io così volevo fare però ho pensato che non è la stessa cosa perchè ad esempio $log(x+1)-log(x-1)$ e $log[(x+1)/(x-1)]$ sono uguali solo per $x>1$ mentre per $x<-1$ la prima non ha senso perchè gli argomenti sono negativi, mentre per la seconda ne ha...questo non ho capito...
una qualsiasi soluzione che trovi non è accettabile se è fuori dal dominio: questo lo hai anche applicato, lo dovresti sapere.
se tu hai due logaritmi separati come in questo caso, gli argomenti di entrambi devono essere positivi.
se li scrivi in una frazione, il dominio del nuovo logaritmo è più grande del precedente, perché ad esempio se sia il numeratore sia il denominatore sono negativi la frazione è positiva, ma non basta: devi tener conto del dominio "di partenza". d'altronde, se entrambi i termini sono positivi, la frazione sarà automaticamente positiva. quindi, riepilogando: studiare il dominio di $log[(x+1)/(x-1)]$, se l'hai ricavato come $log(x+1)-log(x-1)$, non serve a nulla, perché contiene il dominio di quest'ultima espressione; eventuali altri valori che gli appartengono non possono essere presi in considerazione proprio perché non appartengono ad almeno uno dei domini di $log(x+1)$ e $log(x-1)$. spero sia chiaro. ciao.
se tu hai due logaritmi separati come in questo caso, gli argomenti di entrambi devono essere positivi.
se li scrivi in una frazione, il dominio del nuovo logaritmo è più grande del precedente, perché ad esempio se sia il numeratore sia il denominatore sono negativi la frazione è positiva, ma non basta: devi tener conto del dominio "di partenza". d'altronde, se entrambi i termini sono positivi, la frazione sarà automaticamente positiva. quindi, riepilogando: studiare il dominio di $log[(x+1)/(x-1)]$, se l'hai ricavato come $log(x+1)-log(x-1)$, non serve a nulla, perché contiene il dominio di quest'ultima espressione; eventuali altri valori che gli appartengono non possono essere presi in considerazione proprio perché non appartengono ad almeno uno dei domini di $log(x+1)$ e $log(x-1)$. spero sia chiaro. ciao.
cioè se io ho la disequazione in partenza $log(x+1)-log(x-1)$ devo considerare il dominio di questa e non il dominio di quella ottenuta dalla trasformazione ($log[(x+1)/(x-1)]$)...? e il caso dell'argomento maggioere di zero di $log[(x+1)/(x-1)]$ non si deve considerare? dico il vero?
sì, esatto.
perché le condizioni delle prime due devono essere verificate entrambe, e sono più restrittive rispetto alla terza: basta che guardi numeratore e denominatore dell'argomento trasformato: non avevi già detto che dovessero essere entrambi positivi? e allora il loro rapporto non è positivo?
non c'è la questione dello "zero", perché entrambi sono strettamente positivi!
se vogliamo, al contrario, considerare solo il dominio della trasformata non è corretto: infatti una frazione è positiva se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi, ma questa seconda possibilità non può essere accettata perché numeratore e denominatore sono gli argomenti di due logaritmi distinti.
perché le condizioni delle prime due devono essere verificate entrambe, e sono più restrittive rispetto alla terza: basta che guardi numeratore e denominatore dell'argomento trasformato: non avevi già detto che dovessero essere entrambi positivi? e allora il loro rapporto non è positivo?
non c'è la questione dello "zero", perché entrambi sono strettamente positivi!
se vogliamo, al contrario, considerare solo il dominio della trasformata non è corretto: infatti una frazione è positiva se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi, ma questa seconda possibilità non può essere accettata perché numeratore e denominatore sono gli argomenti di due logaritmi distinti.
ok ho capito....grazie...
prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo