Esercizio con le derivate
Ho questo esercizio: trova un polinomio $p(x)$ tale che $xp''(x)+p(x)=x^2+1$
Il fatto è che qui proprio non ho idea di che strada prendere.
Potreste aiutarmi a capire che tipo di ragionamento andrebbe fatto in questo caso?
Il fatto è che qui proprio non ho idea di che strada prendere.
Potreste aiutarmi a capire che tipo di ragionamento andrebbe fatto in questo caso?
Risposte
Non ho la più pallida idea di che metodi insegnino alle superiori, ma immagino che non debbano essere sofisticati.
Quindi io propongo un metodo ad hoc per il problema che non richieda particolari conoscenze sulle eq. differenziali.
Poi altri ti diranno se può andare bene o meno.
sappiamo che $P(x)$ è un polinomio e che le derivate abbassano il grado, quindi affinchè ci sia un $x^2$ al secondo membro, il polinomio deve essere di secondo grado del tipo $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$. Quindi $P^('')(x)=2a_2$
Sostituendo e raccogliendo otteniamo $a_2x^2+(2a_2+a_1)x+a_0=1*x^2+0*x+1$
Per trovare i coefficienti basta compararli con quelli al secondo membro, quindi $a_2=a_0=1$ e $a_1=-2$
Quindi $P(x)=1-2x+x^2=(x-1)^2$
Se fai la derivata seconda e sostituisci nell'equazione vedrai che torna.
Quindi io propongo un metodo ad hoc per il problema che non richieda particolari conoscenze sulle eq. differenziali.
Poi altri ti diranno se può andare bene o meno.
sappiamo che $P(x)$ è un polinomio e che le derivate abbassano il grado, quindi affinchè ci sia un $x^2$ al secondo membro, il polinomio deve essere di secondo grado del tipo $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$. Quindi $P^('')(x)=2a_2$
Sostituendo e raccogliendo otteniamo $a_2x^2+(2a_2+a_1)x+a_0=1*x^2+0*x+1$
Per trovare i coefficienti basta compararli con quelli al secondo membro, quindi $a_2=a_0=1$ e $a_1=-2$
Quindi $P(x)=1-2x+x^2=(x-1)^2$
Se fai la derivata seconda e sostituisci nell'equazione vedrai che torna.
Grazie tante per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo