Esercizio con Cauchy, Lagrange o Rolle

[khjacchia]

Mi sono imbattuta in questo esercizio "apparentemente semplice":
dimostra che per ogni x appartenente a R
$ sin^2x<= 2 |x| $

Dovrei risolverlo o con Rolle, o con Cauchy o con Lagrange... Ma non so davvero dove sbattere la testa
Vi prego aiutatemi, perchè è da un'ora che ci sto provando (senza riuscirci )

[adaBTTLS1]

benvenuta nel forum.

ti do un indizio: i passaggi li lascio a te.
io pensavo a Lagrange, ma dovrebbe essere più semplice con Rolle.
considera che all'esterno dell'intervallo [-1,1] è banale, e si ha l'uguaglianza in x=0.
la funzione $f(x)=sin^2 x-2|x|$ considerala nei due modi distinti per $x<=0$ e per $x>=0$.
considera la continuità e la derivabilità, il fatto che si annulla in $x=0$, e il fatto che assume certamente qualche valore negativo (ad esempio $sin^2 (pi/6) =1/4 < pi/3$).
devi dimostrare che non è mai positiva.
supponi per assurdo che per un certo valore della $x>0$ sia $sin^2 x-2x>0$.
allora deve esistere almeno un valore $xi$ tra $x$ e $pi/6$ (non importa quale dei due è maggiore dell'altro) per cui $f(xi)=0=f(0)$ ... e discorso analogo si può fare per gli $x<0$
per Rolle deve esistere almeno un punto $c$, con $0 ma $f'(x)= 2 sin x cos x -2=2(sin x cos x -1)<0 AA x>0$, ed anche una relazione analoga per $x<0$
...
OK?