Esercizio col limite notevole neperiano: come applicare correttamente la formula?
Salve, a breve avrò un compito sui limiti (quarto anno itis) e sto quindi cercando di ripassare ed esercitarmi sui possibili esercizi che verranno proposti. In particolare, ho trascorso più o meno un'ora cercando di di risolvere questo limite:
$\lim_{x \to \-infty}((x+4) / (x+2))^x$
Qui sono subito ricorso al limite notevole $\lim_{x \to \infty}(1 + 1/x)^x = e$ usando una variabile ausiliaria $ y = x+2 $ per trovarmi quindi $\lim_{y \to \-infty}(1 + 2/y)^(y-2)$
Ma adesso? Il numeratore a $ 2/y $ non è 1, e inoltre la funzione all'esponente non è uguale al denominatore. Non ho proprio idea di come possa applicare questo limite notevole. Come posso fare? Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità
$\lim_{x \to \-infty}((x+4) / (x+2))^x$
Qui sono subito ricorso al limite notevole $\lim_{x \to \infty}(1 + 1/x)^x = e$ usando una variabile ausiliaria $ y = x+2 $ per trovarmi quindi $\lim_{y \to \-infty}(1 + 2/y)^(y-2)$
Ma adesso? Il numeratore a $ 2/y $ non è 1, e inoltre la funzione all'esponente non è uguale al denominatore. Non ho proprio idea di come possa applicare questo limite notevole. Come posso fare? Vi ringrazio in anticipo per la vostra disponibilità
Risposte
Fai un altro cambiamento di variabile e separa la potenza in modo tale da avere il limite notevole
"cidra":
Il numeratore a $ 2/y $ non è 1
Se ho ben capito ciò che intendi, non è un problema poiché
$\lim_{x \to +\infty}(1 + a/x)^x = e^a$
Puoi risolvere così:
$lim_{y->-\oo} (1+2/y)^{y-2} = lim_{y->-\oo} (1+2/y)^{(y-2) y/y} =lim_{y->-\oo} ((1+1/(y/2))^{2 y/2})^{(y-2) /y} =$
$= lim_{y->-\oo} ((1+1/(y/2))^{ y/2})^{2 (y-2) /y} $
ora osservando che $lim_{y->-\oo} (1+1/(y/2))^{ y/2} = e $ e che $lim_{x-> - oo} 2(y-2)/y =2$ trovi facilmente che il limite richiesto vale $= e^2$
$lim_{y->-\oo} (1+2/y)^{y-2} = lim_{y->-\oo} (1+2/y)^{(y-2) y/y} =lim_{y->-\oo} ((1+1/(y/2))^{2 y/2})^{(y-2) /y} =$
$= lim_{y->-\oo} ((1+1/(y/2))^{ y/2})^{2 (y-2) /y} $
ora osservando che $lim_{y->-\oo} (1+1/(y/2))^{ y/2} = e $ e che $lim_{x-> - oo} 2(y-2)/y =2$ trovi facilmente che il limite richiesto vale $= e^2$
"MementoMori":
Fai un altro cambiamento di variabile e separa la potenza in modo tale da avere il limite notevole
Si! Ecco cosa mi sfuggiva! Posso vedere il suddetto limite come $\lim_{y \to \-infty}(1+2/y)^y/(1+2/y)^2$
Ho messo la variabile ausiliaria $ t = y/2 $ affinchè il limite venisse fuori come $\lim_{t \to \-infty}(1+1/t)^(2t)/(1+1/t)^2$
Al numeratore posso applicare il limite notevole ma essendoci il coefficiente 2 all'esponente anzichè avere $e$ ottengo $e^2$
Al denominatore invece, essendoci $ (1 + 1/(-infty))^2$ mi verrebbe fuori $ 1^+ $, valore che posso benissimo trascurare per quindi avere il risultato finale che è $ e^2 $. È giusto cosi?
Esatto 
!!
!!
Perfetto! Grazie mille per il vostro aiuto, siete stati gentilissimi.
Non sapevo che il numeratore al limite notevole potesse essere diverso da $\lim_{x \to +\infty}(1 + a/x)^x = e^a$ , da come ha scritto LoreT314.
Ho scavato a fondo internet per trovare tabelle di limiti notevoli, eppure questo caso particolare con numeratore diverso da 1 non veniva mai contemplato. Eppure è cosi utile e risparmia dei procedimenti che portano a una maggiore probabilità di commettere errori (oltre a darmi un gran mal di testa)
Non sapevo che il numeratore al limite notevole potesse essere diverso da $\lim_{x \to +\infty}(1 + a/x)^x = e^a$ , da come ha scritto LoreT314.
Ho scavato a fondo internet per trovare tabelle di limiti notevoli, eppure questo caso particolare con numeratore diverso da 1 non veniva mai contemplato. Eppure è cosi utile e risparmia dei procedimenti che portano a una maggiore probabilità di commettere errori (oltre a darmi un gran mal di testa)
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