Esercizio Circonferenza/Parabola

[peppe6000]

eq. parabola: y= -1/24 x^2 + 1/6x - 19/6

a) determinare per quali valori di K la retta y=2x+k e tangente la parabola.
b) determinare eq. circonferenza avante per diametro il segmento congiungente il vertice e il fuoco.

V(2;3) F(2;-3)

GRAZIE IN ANTICIPO...

[enrico___1]

La retta risulta tangente alla parabola quando tra le due funzioni c'è un solo punto in comune. Imponiamo prima che le due funzioni si vengano a "toccare" in almeno un punto (mettendo le due equazioni a sistema), dopo di ceh imponendo

[math]\Delta=0[/math]

troveremo per quale valore di k la retta sarà tangente alla parabola.

[math]
\{y=-\frac{x^2}{24}+\frac{x}{6}-\frac{19}{6}\\y=2x+k
[/math]

[math]
\{\frac{x^2}{24}+\frac{11x}{6}+\frac{19+6k}{6}=0\\ //
[/math]

[math]
\{x^2+44x+76+24k=0\to \Delta=0\to (44)^2-4(76+24k)=0\to k=17\\ //
[/math]

L'equazione della retta sarà quindi y=2x+17

Aggiunto 15 minuti più tardi:

L'equazione della circonferenza è data da

[math](x-a)^3+(y-b)^2=r^2[/math]

dove a è la coordinata x del vertice e b è la coordinata y del vertice, mentre r è il raggio della circonferenza.

Il vertice dell parabola è in V(2,-3) mentre il fuoco è in F(2,-9).
Nei tuoi calcoli c'è qualche errore.

Il segmento che congiunge questi due punti ha lunghezza d=

[math]\sqrt{(y_f-y_v)^2+(x_f-x_v)^2}=\sqrt{36+0}=6[/math]

La lungezza del diametro la potevi anche trovare molto più velocemente vedendo che V e F hanno la stessa ascissa, quindi bastava sottrarre le due ordinate e avresti trovato comunque 6.
Il raggio è quindi 3.

Il centro della circonferenza, sapendo le coordinate di V e F è C(2,-6) e l'equazione della circonferenza è:

[math](x-2)^2+(y+6)^2=9[/math]

[peppe6000]

Scusa perchè C è (2;-6) ? dovrebbe essere C(2;-3) no? Perchè faccio il punto medio tra V e F...

[enrico___1]

E' giusto il procedimento che fai tu, però ricorda che il vertice non è in (2,0), ma in (2,-3) quindi tutto il sistema è spostato in basso di -3.

[peppe6000]

Quindi è giusto se faccio: C(2;-3)

(x-2)^2 + (y+3)^2= 9 ?

[enrico___1]

Fai così disegna la parabola e la circonferenza che ti ho scritto io, e poi disegni la circonferenza che hai definito tu. Noterai che la tua circonferenza toccherà i punti diametralmente opposti (2,0) e (2,-6). Invece dalla consegna deve toccare vertice e fuoco cioè (2,-3) e (2,-9) quindi il punto medio tra -3 e -9 è (-9+(-3))/2 = -6.

Per definizione il punto medio è dato da

[math]X=\frac{x_1+x_2}{2}\qquad Y=\frac{y_1+y_2}{2}[/math]