Esercizio Calcolo Differenziale

[Erwin5150]

Salve!
Durante il mio studio mi sono imbattuto in un esercizio relativamente semplice, ma dal testo (dalle spiegazioni teoriche) non riesco a capire come trovare il seguente valore

[math]\mathit{max}\left \{\mathit{D_vf(1,2), v \in \mathbb{R}^2, ||v|| = 1 }\right \}[/math]

data ovviamente

[math]\mathit{f(x,y) = x^3 +yx^2 -3xy^2 +y^3}[/math]

dove gia mi si richiedeva di calcolare derivata direzionale nel punto (1,2) e vettore
v= ( rad(2)/2, -rad(2)/2 )

Gradirei illustrato il procedimento, ancor prima della soluzione che è rad(26)
Ciao ragazzi e grazie in anticipo.

[ciampax]

C'è qualcosa che non mi torna nel modo in cui hai formulato l'esercizio.
Dunque, se tu conosci le coordinate del punto e del vettore, la derivata direzionale che calcoli sarà un valore numerico, quindi non ha senso determinare quel massimo.

Secondo me la richiesta dell'esercizio è la seguente:

Data la funzione

[math]f(x,y)=x^3+x^2 y-3 x y^2+y^3[/math]

determinare per quale vettore

[math]v\in\mathbb{R}^2[/math]

tale che

[math]\|v\|=1[/math]

la derivata direzionale

[math]D_v f(1,2)[/math]

calcolata nel punto

[math](1,2)[/math]

assuma valore massimo[/math]

Tale esercizio si risolve cos^: il generico vettore avrà componenti

[math]v=(X,Y)[/math]

con la condizione che

[math]X^2+Y^2=1[/math]

. Per la derivata direzionale si ha

[math]D_v f(1,2)=X\cdot\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)+Y\cdot\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)\\
=X\cdot(3x^2+2xy-3y^2)|_{(1,2)}+Y\cdot(x^2-6xy+3y^2)|_{(1,2)}=-5X+Y[/math]

Quindi ci siamo ricondotti al seguente problema: determinare il massimo della funzione

[math]F(X,Y)=-5X+Y[/math]

sotto la condizione che

[math]X^2+Y^2=1[/math]

Per determinarli, passiamo a coordinate polari ponendo

[math]X=\cos \theta,\qquad Y=\sin\theta[/math]

, da cui ricaviamo che sarà sufficiente determinare il massimo della funzione

[math]F(\theta)=-5\cos\theta+\sin\theta[/math]

. Ma allora, basta determinare quando la derivata prima di tale funzione si annulli, per cui risolviamo l'equazione

[math]F'(\theta)=5\sin\theta+\cos\theta=0[/math]

.

Per determinare le sue soluzioni, possiamo fare in questo modo: riscriviamo l'equazione trovata in termini di

[math]X,Y[/math]

e mettiamo a sistema con la condizione

[math]X^2+Y^2=1[/math]

, cioè

[math]\left\{\begin{array}{l}
5Y+X=0\\ X^2+Y^2=1
\end{array}\right.[/math]

Dalla prima ricaviamo:

[math]X=-5Y[/math]

che sostituito nella seconda porta a

[math]25Y^2+Y^2=1\quad\Longrightarrow\quad 26Y^2=1\quad\Longrightarrow\quad Y=\pm\frac{1}{\sqrt{26}}[/math]

e quindi le soluzioni

[math]\begin{array}{c|c|c}
X & \frac{5}{\sqrt{26}} & -\frac{5}{\sqrt{26}}\\
& & \\
Y & -\frac{1}{\sqrt{26}} & \frac{1}{\sqrt{26}}
\end{array}[/math]

che sostituite in

[math]F(X,Y)[/math]

danno i valori

[math]F\left(\frac{5}{\sqrt{26}},-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)=-\frac{25}{\sqrt{26}}-\frac{1}{\sqrt{26}}=-\frac{26}{\sqrt{26}}=-\sqrt{26}[/math]

[math]F\left(-\frac{5}{\sqrt{26}},+\frac{1}{\sqrt{26}}\right)=\frac{25}{\sqrt{26}}+\frac{1}{\sqrt{26}}=+\frac{26}{\sqrt{26}}=+\sqrt{26}[/math]

per cui, essendo il secondo valore positivo, è il massimo cercato. Ne segue che

[math]\max\{D_v f(1,2)\ :\ v\in\mathbb{R}^2,\ \|v\|=1\}=\sqrt{26}[/math]

per il vettore

[math]v=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}},+\frac{1}{\sqrt{26}}\right)[/math]

.

Spero sia tutto chiaro.

[Erwin5150]

Si, è una spiegazione abbastanza esaudiente. Tuttavia, il testo dell'esercizio era

Sia f(x,y) =espressione. Calcolare derivata direzionale in (1,2) se il vettore è (coordinata x, coordinata y).
Determinare max{richiesta}

Mi chiedo se sia un buon modo di scrivere il testo di un esercizio. Da qui tutti i miei dubbi su come procedere.
Ora è chiaro.
A titolo di cronaca, non esiste alcun esempio guida su come svolgere tali esercizi. Ad ogni modo essi vengono inseriti a fine capitolo. Ridicolo davvero.

Grazie mille.

[BIT5]

Chiudo..
(Donato fai impressione :D )