Esercizio ANALISI 2

[minos88]

Devo assolutamente dimostrare per esercizio che :

Sia A un insieme chiuso e limitato in un intervallo a,b A=[a,b]sottoinsieme di R (reali)
e sia C(A) l'insieme delle funzioni continue in A
ed f:A--R
d:C(A)xC(A)--R d(f,g)=Integrale tra a e b di [f(x)-g(x)]dx (in valore assoluto)
Devo dimostrare che (C(A),d) è uno spazio metrico. Grazie in anticipo

[ciampax]

Basta mostrare che valgono le proprietà di metrica: in particolare che

[math]1)\quad d(f,g)\geq 0\\ 2)\quad d(f,g)=0\Leftrightarrow f=g,\\ 3)\quad d(f,g)=d(g,f),\\ 4)\quad d(f,g)\leq d(f,h)+d(h,g).[/math]

Le prime tre sono immediate: infatti, poiché

[math] |f(x)-g(x)|\geq 0,\qquad |f(x)-g(x)|=|g(x)-f(x)|,\qquad \forall\ x\in A[/math]

segue che

[math]d(f,g)\geq 0[/math]

[math]d(f,g)=0\Leftrightarrow |f(x)-g(x)|=0\Leftrightarrow f(x)=g(x)[/math]

[math]d(f,g)=d(g,f).[/math]

Per l'ultima si ha

[math]|f(x)-g(x)|=|f(x)-h(x)+(h(x)-g(x))|\leq |f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|[/math]

e quindi

[math]d(f,g)=\int_{a}^b |f(x)-g(x)|\ dx\leq\int_{a}^b |f(x)-h(x)|\ dx+\int_{a}^b |h(x)-g(x)|\ dx=d(f,h)+d(h,g).[/math]

[Cherubino]

Figu!
Alla fine era un prodotto scalare in uno spazo di funzioni...
Toglimi una curiosità: matematico o fisico teorico?

[ciampax]

Matematico...

anzi di più....

ricercatore in matematica.

[SuperGaara]

E aggiungo: ricercatore in matematica pazzo ;)

:lol:lol

Donato fatti vedere più spesso!!!!!!!!!!!

[ciampax]

Farmi vedere più spesso in che senso?

Da voi sul forum, o da un bravo psicanalista? :)

[SuperGaara]

Beh...in effetti anche uno psicanalista non ti farebbe male...ma dev'essere MOLTO bravo!

Hahaha...scherzo...:XD:lol

Ovviamente qua sul forum!!!!! ;)