Esercizietto sugli integrali

[fireball1]

Propongo questo esercizio sugli integrali.

Sia f(x) una funzione continua; il volume del
solido che si ottiene ruotando il grafico di f(x)
nell'intervallo [0;a] è a^2 + a . Determinare f(x).

[Pachito1]

Mi pare irrisolvibile...
Ci sono infinite soluzioni.

[fireball1]

Ops, scusate... Ho dimenticato di dire
che il grafico di f(x) nell'intervallo [0;a]
effettua una rotazione completa ATTORNO ALL'ASSE X.

[Sk_Anonymous]

Temo anche io cosi' a occhio che il problema sia indeterminato... o almeno devi dare delle condizioni al contorno, ad esempio il valore di f in 0 o in a.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[tony19]

quote:

---

... o almeno devi dare delle condizioni al contorno, ad esempio il valore di f in 0 o in a. [Luca.Lussardi]

---

e pensi che basterebbero?

secondo me, anche se fissiamo f(0) e f(a), possiamo inventarci 9999[:)] funzioni che passino per i 2 punti e abbiano:
area_da_0_ad_a * Y_del_suo_baricentro * 2*Pi = volume_richiesto_da_fireball

(sempre ragionando come il qui_non_molto_apprezzato Guldino)

tony

[Sk_Anonymous]

Ci devo pensare... viene un'equazione integrale...

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[fireball1]

Ragazzi, il testo è esattamente come quello sul libro
e a me viene anche lo stesso risultato del libro, cioè
f(x) = sqrt((2x + 1)/pi) ...

[Sk_Anonymous]

Ma scusa, mi e' venuto un dubbio: si richiede che il volume sia quello per ogni valore di a? Dal testo non e' chiaro.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[fireball1]

Io so solo che f(x) è continua e [0 ; a] è
un suo intervallo chiuso e limitato... Poi credo che
qualunque valore finito si dia ad a, il volume debba
essere sempre quello.

[wedge]

il volume di un solido ottenuto ruotando il grafico di una funzione f(x) nell'intervallo [0,a] è
vol=pi*INT(f^2(x),0,a)
quindi INT(f^2(x),0,a)=(a^2+a)/pi
l'integrale indefinito di f^2(x) sarà dunque (x^2+x)/pi
derivando otteniamo f^2(x)=(2x+1)/pi
da cui f(x)=SQRT((2x+1)/pi)

[fireball1]

quote:

---

Originally posted by wedge

il volume di un solido ottenuto ruotando il grafico di una funzione f(x) nell'intervallo [0,a] è
vol=pi*INT(f^2(x),0,a)
quindi INT(f^2(x),0,a)=(a^2+a)/pi
l'integrale indefinito di f^2(x) sarà dunque (x^2+x)/pi
derivando otteniamo f^2(x)=(2x+1)/pi
da cui f(x)=SQRT((2x+1)/pi)

---

Sì, wedge, il procedimento e' corretto,
ma non e' corretta la tua frase evidenziata in grassetto:
non puoi dire a priori che l'integrale indefinito e' (x^2 + x)/pi ,
mentre puoi certamente affermare che (x^2 + x)/pi
è il valore della funzione integrale, se sostituiamo x ad a:



Quindi a questo punto si derivano entrambi i membri, etc. etc...

E' ovvio poi che vale la relazione:



Ma bisogna fare attenzione...

[Sk_Anonymous]

Attenzione ad una cosa: usando la derivazione si suppone che l'uguaglianza richiesta debba valere per ogni x; per cui il testo dovrebbe essere "per ogni a vale...". E' cosi' o no? Altrimenti non ha senso scrivere la funzione di x e derivare...

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[fireball1]

Si' Luca, e' cosi'.

[wedge]

hai ragione fireball!