Esercizi sulle derivate

[aneres93]

derivate...

1

[math]y=5\sqrt{x}\cdot\frac{senx}{lnx}[/math]

2

[math]y=\frac{x-2}{lnx(x^2+e^x)}[/math]

3

[math]y=\frac{1-senx}{2cosx+x}[/math]

nella prima ho bisogno di controllare il mio risultato .. nella 2 e nella 3 ho dei dubbi sul fatto...devo applicare direttamente la proprietà del quoziente o svolgere prima le altre..per esempio di addizione e moltiplicazione?..potete comunque svolgerle?così capisco maggiormente grazie

[BIT5]

1)

E' un prodotto

La derivata di un prodotto

[math] f(x) g(x) [/math]

e' data da

[math] f'(x)g(x) + f(x)g'(x) [/math]

ma nell'esercizio, g(x) e' un rapporto (del tipo h(x)/k(x) ) la cui derivata e'

[math] \frac{h'(x)k(x) - k'(x)h(x)}{k^2(x)}[/math]

Calcoliamo dunque la derivata della frazione

[math] \frac{ \sin x}{\log x} [/math]

La derivata sara'

[math] \frac{\cos x \log x - \sin x \cdot \frac{1}{x}}{\log^2 x} [/math]

E quindi la derivata del prodotto sara'

[math] \frac{5}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sin x}{\log x} + 5 \sqrt{x} \frac{\cos x \log x - \sin x \cdot \frac{1}{x}}{\log^2 x} [/math]

Raccogliamo 5 al numeratore e log x al denominatore

[math] \frac{5}{\log x} \( \frac{\sin x}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} \cos x \log x - \frac{\sin x}{x}}{\log x }\) [/math]

E se vogliamo mettere un po' di ordine, minimo comune multiplo sul secondo addendo

[math] \frac{5}{\log x} \( \frac{\sin x}{2 \sqrt{x}} + \frac{x \sqrt x \cos x \log x - \sin x}{x \log x} \) [/math]

Aggiunto 13 minuti più tardi:

2

[math]y=\frac{x-2}{lnx(x^2+e^x)}[/math]

Anche qui abbiamo un rapporto, ma ci occorre sia la derivata del numeratore (che e' 1) che la derivata del denominatore.... il denominatore pero' e' un prodotto..

Quindi definiamo la frazione come

[math] \frac{g(x)}{h(x)} [/math]

Dove

[math] f(x)=x-2 \\ \\ \\ f'(x)=1 \\ \\ \\ h(x)= \log x \( x^2+e^{x} \) [/math]

e quindi

[math] h'(x) = \frac{1}{x} \(x^2+e^{x} \) + \log x \( 2x+e^{x} \) = [/math]

E quindi la derivata finita sara'

[math] \frac{\log x \(x^2+e^x \) - (x-2) \( \frac{1}{x} \(x^2+e^{x} \) + \log x \( 2x + e^{x} \)\)}{\(\log x(x^2+e^x) \)^2} [/math]

3

[math]y=\frac{1-senx}{2cosx+x}[/math]

Qui e' una frazione secca

[math] \frac{g(x)}{h(x)} [/math]

con

[math] g(x) = 1- \sin x \\ \\ \\ h(x)=2 \cos x + x \\ \\ \\ g'(x)= - \cos x \\ \\ \\ h'(x)= - 2 \sin x + 1 [/math]

quindi la derivata

[math] \frac{ - \cos x (2 \cos x + x \) - (1- \sin x )(-2 \sin x + 1)}{(2 \cos x + x )^2} [/math]

moltiplichiamo

[math] \frac{-2 \cos^2 x - x \cos x - (-2 \sin x +1+2 \sin^2 x - \sin x )}{(2 \cos x + x \)^2} [/math]

e quindi

[math] \frac{-2 \cos^2 x - x \cos x + 2 \sin x - 1 - 2 \sin^2 x + \sin x}{(2 \cos x + x)^2} [/math]

e dunque

[math] \frac{-2( \cos^2 x + \sin^2 x)-x \cos x +3 \sin x -1}{(2 \cos x + x )^2} [/math]

Ovvero

[math] \frac{3 \sin x - x \cos x -3}{(2 \cos x +x)^2} [/math]