Esercizi sulle coniche
L'esercizio è questo:
scrivere l'equazione della circonferenza di centro C (0; -4) e tangente a 3x+4y+1=0
Allora io con le coordinate del centro ricavo a=0 e b=8
Posso quindi mettere a sistema x^2+y^2+8y+c=0 con 3x+4y+1=0 ? E come lo risolvo?
Data la circonferenza x^2+y^2+4x-2y-15=10 trovare la tangente per il punto A (4; -1)
Posso fare il sistema tra la circonferenza il fascio per A?
Grazie
scrivere l'equazione della circonferenza di centro C (0; -4) e tangente a 3x+4y+1=0
Allora io con le coordinate del centro ricavo a=0 e b=8
Posso quindi mettere a sistema x^2+y^2+8y+c=0 con 3x+4y+1=0 ? E come lo risolvo?
Data la circonferenza x^2+y^2+4x-2y-15=10 trovare la tangente per il punto A (4; -1)
Posso fare il sistema tra la circonferenza il fascio per A?
Grazie
Risposte
"Meleagros":
L'esercizio è questo:
scrivere l'equazione della circonferenza di centro C (0; -4) e tangente a 3x+4y+1=0
Allora io con le coordinate del centro ricavo a=0 e b=8
Posso quindi mettere a sistema x^2+y^2+8y+c=0 con 3x+4y+1=0 ? E come lo risolvo?
dalla seconda equazione espliciti la $y$ (in modo da scrivere $y=...$) e sostituisci quest'equazione nella prima equazione...
Un normale sistema di secondo grado
"Meleagros":
Data la circonferenza x^2+y^2+4x-2y-15=10 trovare la tangente per il punto A (4; -1)
Posso fare il sistema tra la circonferenza il fascio per A?
Certo!!!
Altrimenti scrivi l'equazione della retta $y=mx+q$ ponendo $y=1$ e $x=4$
In modo da avere $1=4m+q$
Così hai ottenuto un'equazione che dà $m$ in funzione di $q$ e viceversa.
Ottenuta quest'equazione te la metti da parte e metti a sistema la circonferenza con una retta generica $y=mx+q$ e all'interno di questa equazione scrivi $q$ in funzione di $m$
ovvero metti a sistema l'equazione precedente e l'ultima
ovvero
$1=4m+q$
$q=1-4m$
alla fine scrivi
$y=mx+1-4m$
metti questa equazione a sistema con l'equazione della circonferenza come un normale sistema di secondo grado.
Fai come nell'esercizio precedente...ovvero scrivi tutto in funzione di $y$ ovvero esplicitando la $y$ nell'equazione della retta.
Poi sostituisci nell'equazione della circonferenza e ti trovi il determinante dell'equazione ponendolo uguale a $0$, visto che c'è solo un punto in comune.
Da qui ti ricavi la $m$ e dopo dall'equazione che hai tenuto da parte all'inizio ti ricavi la $q$
Il gioco è fatto!!!
Ho preferito dirti come si risolve piuttosto che risolverlo e magari poi non capivi i passaggi...
E poi nemmeno mi azzeccava a fare tutti i calcoli!!!
Se non capisci qualche passaggio dimmi pure!
Per la prima puoi anche cercare la distanza tra il centro e la retta, siccome essa è uguale al raggio applichi la formula $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ svolgi i calcoli e trovi l'equazione, mentre se vuoi usare la strada analitica devi fare il sistema tra la retta e l'equazione che hai trovato ed imporre il delta=0
Per la seconda ci sono tre strade:
1) Le formule di sdoppiamento
2) Dalla geometria sai che una retta tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al segmento che congiunge il centro col punto di contatto quindi trovi la pendenza della retta che passa per il centro della circonferenza ed A, poi inserisci come valore l'antireciproco nel fascio per A.
3) Metti a sistema il fascio per A e la cironferenza ed imponi il delta=0 (questo procedimento non te lo consiglio per via degli eccessivi calcoli)
Per la seconda ci sono tre strade:
1) Le formule di sdoppiamento
2) Dalla geometria sai che una retta tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al segmento che congiunge il centro col punto di contatto quindi trovi la pendenza della retta che passa per il centro della circonferenza ed A, poi inserisci come valore l'antireciproco nel fascio per A.
3) Metti a sistema il fascio per A e la cironferenza ed imponi il delta=0 (questo procedimento non te lo consiglio per via degli eccessivi calcoli)
Innanzitutto vi ringrazio per avermi risposto. Chiedo scusa per le mie pedanti domande ma sono veramente arrugginito riguardo a questi argomenti.
Forse mi sono dimenticato l'algebra del biennio ma non riesco a risolverla:
x^2+y^2+8y+c
3x+4y+1=0
y=-3/4x-1/4
x^2+(-3/4x-1/4)^2+8(-3/4x-1/4)+c=0
y=-3/4x-1/4
x^2+9/16x^2+1/16-6x-2+c=0
y=-3/4x-1/4
16x^2+9x^2-96x-31+16c=0
y=-3/4x-1/4
25x^2-96x-31+16c=0
Ora impongo il delta=0 quindi:
9216-100(-31+16c)
9216+3100-1600c=0
12316-1600c=0
c=12316/1600 mi sembra un po' improbabile.
Ho provato a ragionare anche sull'altro metodo suggeritomi da Tony125: non capisco però come posso utilizzare quella formula, dato che non ho la misura del raggio.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, mi sono scordato di sottolineare che il punto A è esterno alla circonferenza.
Non ho ben inteso il tuo ragionamento, ma non si fa prima a mettere il fascio per il punto A? Poi però non riesco a risolvere:
x^2+y^2+4x-2y-15=0
y=mx+1-4
x^2+(mx+1-4m)^2+4x-2(mx+1-4m)-15=0
y=mx+1-4
Non so come risolvere (mx+1-4m)^2
Saluti e scusate di nuovo.
"angus89":
dalla seconda equazione espliciti la $y$ (in modo da scrivere $y=...$) e sostituisci quest'equazione nella prima equazione...
Un normale sistema di secondo grado
Forse mi sono dimenticato l'algebra del biennio ma non riesco a risolverla:
x^2+y^2+8y+c
3x+4y+1=0
y=-3/4x-1/4
x^2+(-3/4x-1/4)^2+8(-3/4x-1/4)+c=0
y=-3/4x-1/4
x^2+9/16x^2+1/16-6x-2+c=0
y=-3/4x-1/4
16x^2+9x^2-96x-31+16c=0
y=-3/4x-1/4
25x^2-96x-31+16c=0
Ora impongo il delta=0 quindi:
9216-100(-31+16c)
9216+3100-1600c=0
12316-1600c=0
c=12316/1600 mi sembra un po' improbabile.
Ho provato a ragionare anche sull'altro metodo suggeritomi da Tony125: non capisco però come posso utilizzare quella formula, dato che non ho la misura del raggio.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, mi sono scordato di sottolineare che il punto A è esterno alla circonferenza.
"angus89":
Certo!!!
Altrimenti scrivi l'equazione della retta $y=mx+q$ ponendo $y=1$ e $x=4$
In modo da avere $1=4m+q$
Così hai ottenuto un'equazione che dà $m$ in funzione di $q$ e viceversa.
Ottenuta quest'equazione te la metti da parte e metti a sistema la circonferenza con una retta generica $y=mx+q$ e all'interno di questa equazione scrivi $q$ in funzione di $m$
ovvero metti a sistema l'equazione precedente e l'ultima
ovvero
$1=4m+q$
$q=1-4m$
alla fine scrivi
$y=mx+1-4m$
metti questa equazione a sistema con l'equazione della circonferenza come un normale sistema di secondo grado.
Fai come nell'esercizio precedente...ovvero scrivi tutto in funzione di $y$ ovvero esplicitando la $y$ nell'equazione della retta.
Poi sostituisci nell'equazione della circonferenza e ti trovi il determinante dell'equazione ponendolo uguale a $0$, visto che c'è solo un punto in comune.
Da qui ti ricavi la $m$ e dopo dall'equazione che hai tenuto da parte all'inizio ti ricavi la $q$
Il gioco è fatto!!!
Non ho ben inteso il tuo ragionamento, ma non si fa prima a mettere il fascio per il punto A? Poi però non riesco a risolvere:
x^2+y^2+4x-2y-15=0
y=mx+1-4
x^2+(mx+1-4m)^2+4x-2(mx+1-4m)-15=0
y=mx+1-4
Non so come risolvere (mx+1-4m)^2
Saluti e scusate di nuovo.
"Meleagros":
Non so come risolvere (mx+1-4m)^2
Solo un piccolo suggerimento:
$(mx+1-4m)^2=(mx+1-4m)(mx+1-4m)$
se non ti ricordi la regola del quadrato di un polinomio basta che ti armi di pazienza e svolgi le moltiplicazioni...
La regola è comunque la seguente:
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
In generale, nel caso di quadrato di $n$ termini si deve calcolare il quadrato di ogni termine e sommarci il doppio prodotto di ogni termine per ciascuno dei termini successivi.
"Meleagros":
Ho provato a ragionare anche sull'altro metodo suggeritomi da Tony125: non capisco però come posso utilizzare quella formula, dato che non ho la misura del raggio.
Il raggio non ce l'hai ma puoi benissimo ricavartelo, se fai un disegno ti accorgerai sicuramente che la distanza della retta tangente ad una circonferenza dal centro della circonferenza stessa è uguale al raggio, quindi ti calcoli la distanza punto-retta $|0*3+4*(-4)+1|/sqrt(16+9)=15/5=3$
Per il secondo esercizio ti tocca mettere a sistema il fascio di rette e la circonferenza ed imporre il $delta=0$, un metodo più geometrico c'è ma è più lento del sistema quindi ti consiglio di fare cosi
"Tony125":
Il raggio non ce l'hai ma puoi benissimo ricavartelo, se fai un disegno ti accorgerai sicuramente che la distanza della retta tangente ad una circonferenza dal centro della circonferenza stessa è uguale al raggio, quindi ti calcoli la distanza punto-retta $|0*3+4*(-4)+1|/sqrt(16+9)=15/5=3$
Ah ora ho capito. Grazie
Una ultima cosa: puoi controllare e dirmi dove ho sbagliato nel sistema del primo esercizio?
Saluti
"Meleagros":
y=-3/4x-1/4
x^2+(-3/4x-1/4)^2+8(-3/4x-1/4)+c=0
y=-3/4x-1/4
x^2+9/16x^2+1/16-6x-2+c=0
Hai dimenticato il doppio-prodotto, per il resto sembra corretta
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