Esercizi sulla retta Geometria analitica
Salve ragazzi, scusate se vi disturbo, ma sono impelagato tra numeri, rette, assi, equazioni ... 
è da un'intera giornata che ci provo e... sarà la febbre, sarà che nessuno me li ha mai spiegati, ma non riesco a capire come fare...
1)Il triangolo ABC ha due vertici in A(-2;4) e B (5;1) determinare le coordinate del vertice C sapendo che appartiee alla retta 2x+y+2=0 e che il baricentro del triangolo sta sulla bisettrice del 1°-3° quadrante.
Ho provato con l'asse di AB (dato che, se non ricordo male, il baricentro è il punto d'incontro delle mediane) però non mi riesce.
2) Determinare per quali valori di A le rette di equazione
(1-a)x + (a+1)y +2 -a = 0 e ax+(a+2)y + a -3 =0
--> sono tra loro perpendicolari;
--> staccano sulla retta y= 1 un segmento di misura 4,5
--> si incontrano in un punto di ordinata 4.
per la perpendicolarità, io so che le due rette devono avere una l'opposto dell'inverso dell'altra come coefficiente angolare, ma non so come metterlo in pratica...
Per il fatto che si incontrano in un punto di ordinata 4, ho sostituito 4 ai valori di y e ho imposto un sistema per fare incrociare le rette... ma non mi riesce...
Vi ringrazio in anticipo... scusate ancora per il disturbo. Buona giornata a tutti.
è da un'intera giornata che ci provo e... sarà la febbre, sarà che nessuno me li ha mai spiegati, ma non riesco a capire come fare...
1)Il triangolo ABC ha due vertici in A(-2;4) e B (5;1) determinare le coordinate del vertice C sapendo che appartiee alla retta 2x+y+2=0 e che il baricentro del triangolo sta sulla bisettrice del 1°-3° quadrante.
Ho provato con l'asse di AB (dato che, se non ricordo male, il baricentro è il punto d'incontro delle mediane) però non mi riesce.
2) Determinare per quali valori di A le rette di equazione
(1-a)x + (a+1)y +2 -a = 0 e ax+(a+2)y + a -3 =0
--> sono tra loro perpendicolari;
--> staccano sulla retta y= 1 un segmento di misura 4,5
--> si incontrano in un punto di ordinata 4.
per la perpendicolarità, io so che le due rette devono avere una l'opposto dell'inverso dell'altra come coefficiente angolare, ma non so come metterlo in pratica...
Per il fatto che si incontrano in un punto di ordinata 4, ho sostituito 4 ai valori di y e ho imposto un sistema per fare incrociare le rette... ma non mi riesce...
Vi ringrazio in anticipo... scusate ancora per il disturbo. Buona giornata a tutti.
Risposte
1) A meno che il triangolo non sia isoscele (o equilatero) l'asse di un lato (cioè la perpendicolare ad esso condotta per il punto medio) non contiene la mediana (segmento che parte dal vertice e cade nel punto medio del lato opposto)
Se il punto C appartiene alla retta 2x+y+2=0, puoi assegnargli le coordinate generiche $(x;(-y-2)/2)$
indubbiamente la mediana che parte da C passa per il baricentro, che, in quanto appartenente alla retta y=x, avrà uguali l'ascissa e l'ordinata. Tieni inoltre presente che tu sei in grado di trovare le coordinate del punto medio.
Prova a seguire queste indicazioni e, soprattutto, cerca di fare bene il grafico.
2) coefficiente angolare = -a/b, quindi nel caso della tua prima retta generica sarà: $(a-1)/(a+1)$ , e questo deve essere uguale all'antireciproco dell'altro : $(a+2)/a$
Per l'ultimo punto il tuo procedimento è giusto; ti ritrovi con un sistema di due equazioni nelle incognite x ed a, e non ti resta che risolverlo. Forse hai commesso qualche errore di calcolo.
Se il punto C appartiene alla retta 2x+y+2=0, puoi assegnargli le coordinate generiche $(x;(-y-2)/2)$
indubbiamente la mediana che parte da C passa per il baricentro, che, in quanto appartenente alla retta y=x, avrà uguali l'ascissa e l'ordinata. Tieni inoltre presente che tu sei in grado di trovare le coordinate del punto medio.
Prova a seguire queste indicazioni e, soprattutto, cerca di fare bene il grafico.
2) coefficiente angolare = -a/b, quindi nel caso della tua prima retta generica sarà: $(a-1)/(a+1)$ , e questo deve essere uguale all'antireciproco dell'altro : $(a+2)/a$
Per l'ultimo punto il tuo procedimento è giusto; ti ritrovi con un sistema di due equazioni nelle incognite x ed a, e non ti resta che risolverlo. Forse hai commesso qualche errore di calcolo.
Ciao, intanto ti ringrazio per la risposta... allo stesso tempo però non riesco a capire due cose:
1) Il primo problema mi risulta ancora ostico...
2) la parte B del secondo, cioè quello che prevede che si stacchi su y=1 un segmento di misura 4,5 non mi è chiara...
Potresti sopportarmi ancora per un pò? grazie ! xD
1) Il primo problema mi risulta ancora ostico...
2) la parte B del secondo, cioè quello che prevede che si stacchi su y=1 un segmento di misura 4,5 non mi è chiara...
Potresti sopportarmi ancora per un pò? grazie ! xD
"Secret":
1)Il triangolo ABC ha due vertici in A(-2;4) e B (5;1) determinare le coordinate del vertice C sapendo che appartiee alla retta 2x+y+2=0 e che il baricentro del triangolo sta sulla bisettrice del 1°-3° quadrante.
Tieni conto che il baricentro $G$ di un triangolo ha coordinate
$G ( (x_A + x_B + x_C)/3 ; (y_A + y_B + y_C)/3 )$
inoltre sai che
$y_G = x_G$ (il baricentro sta sulla retta $y=x$)
in più sai che
$2 x_C + y_C + 2 = 0$ .
ma io non ho C .... come trovo C ?
devo impiantare il sistema tra 2xC+yC+2=0 e yG=xG tenendo conto che G($(xA+xB+xC)/3$;$(yA+yB+yC)/3$) giusto ?
"franced":
Tieni conto che il baricentro $G$ di un triangolo ha coordinate
$G ( (x_A + x_B + x_C)/3 ; (y_A + y_B + y_C)/3 )$
inoltre sai che
$y_G = x_G$ (il baricentro sta sulla retta $y=x$)
in più sai che
$2 x_C + y_C + 2 = 0$ .
Dalla condizione
$y_G = x_G$
trovi
$(x_A + x_B + x_C)/3 = (y_A + y_B + y_C)/3$
sapendo $x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$ hai una condizione su $x_C$ e $y_C$.
L'ho risolto.. Grazie, sei stato preziosissimo
Adesso l'ultimo problema rimane
2) Determinare per quali valori di A le rette di equazione
(1-a)x + (a+1)y +2 -a = 0 e ax+(a+2)y + a -3 =0
--> sono tra loro perpendicolari; RISOLTO
--> staccano sulla retta y= 1 un segmento di misura 4,5( questo non so farlo)
--> si incontrano in un punto di ordinata 4. (per quanto riguarda questo il libro mi da due risultati e io, sostituendo 4 ai valori di Y ne trovo solo uno... come trovo l'altro ?)
potrei chiederti questo ulteriore aiuto, per favore ? Te ne sarei molto grato
Adesso l'ultimo problema rimane
2) Determinare per quali valori di A le rette di equazione
(1-a)x + (a+1)y +2 -a = 0 e ax+(a+2)y + a -3 =0
--> sono tra loro perpendicolari; RISOLTO
--> staccano sulla retta y= 1 un segmento di misura 4,5( questo non so farlo)
--> si incontrano in un punto di ordinata 4. (per quanto riguarda questo il libro mi da due risultati e io, sostituendo 4 ai valori di Y ne trovo solo uno... come trovo l'altro ?)
potrei chiederti questo ulteriore aiuto, per favore ? Te ne sarei molto grato
interseca entrambe le rette generiche con la retta y=1 (devi cioè risolvere i due sistemi costituiti ciascuno da una delle due rette e da y=1)
trovi in entrambi i casi l'ascissa di ciascuno dei due estremi del segmento in funzione di a
a questo punto devi applicare la formula della distanza tra i due punti e porla =4,5; poi elevi tutto al quadrato (per eliminare la radice) e troverai quanto vale a
2) ricava x dalla prima equazione, ed avrai:
$x=(6+3a)/(a-1)
sostituisci questo valore nella seconda e dopo aver fatto i calcoli ottieni:
$8a^2+6a-5=0$
risolvi quest'equazione ed avrai i due risultati che cerchi
trovi in entrambi i casi l'ascissa di ciascuno dei due estremi del segmento in funzione di a
a questo punto devi applicare la formula della distanza tra i due punti e porla =4,5; poi elevi tutto al quadrato (per eliminare la radice) e troverai quanto vale a
2) ricava x dalla prima equazione, ed avrai:
$x=(6+3a)/(a-1)
sostituisci questo valore nella seconda e dopo aver fatto i calcoli ottieni:
$8a^2+6a-5=0$
risolvi quest'equazione ed avrai i due risultati che cerchi
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