Esercizi sui limiti

[ale.vh1]

Ciao ho un problema su tali esercizi riguardanti i limiti con forma indeterminata
$ lim_(x->-oo)(e^x-x)/(x^2sqrt(1+x^2)+x^3 $
$ lim_(x->o)(sin(3x)-sin(x/2))^2/(sqrt(1+x)-1) $
ho provato ad utilizzare i limiti notevoli ma non ho ottenuto grandi risultati

[anto_zoolander]

Hai provato con le equivalenze asintotiche? Tipo nel secondo puoi considerare:

$sin(3x)~3x$

$sin(x/2)~x/2$

Entrambi considerati per $x->0$.

$lim_(x->0)(3x-x/2)^2/(sqrt(1+x)-1)$

$25/4lim_(x->0)x^2/(sqrt(1+x)-1)=25/4lim_(x->0)x^2(sqrt(1+x)+1)/(x)$

$25/4lim_(x->0)x(sqrt(1+x)+1)=0$

Per il primo basta fare così:
Cominci staccando il limite in due pezzi:

$lim_(x->-infty)e^x/(x^2sqrt(1+x^2)+x^3)-lim_(x->-infty)x/(x^2sqrt(1+x^2)+x^3)$

Se hai occhio già l'inghippo lo puoi trovare.. Lavoriamo solo sul denominatore un attimo:

$x^2sqrt(1+x^2)+x^3=x^2|x|sqrt(1+1/x^2)+x^3$

Considera che siamo in un intorno di $-infty$ dunque $|x|=-x$
Che dopo un raccoglimento fa diventare il tutto come:

$x^3(1-sqrt(1+1/x^2))$

L'inghippo è proprio dato dal fatto che $1/x^2->0$ per $x->-infty$ e quindi lascia che si annullino in tutta tranquillità $1-sqrt1$. Per eliminare questo problema basta razionalizzare

$lim_(x->-infty)e^x/(x^3(1-sqrt(1+1/x^2)))=lim_(x->-infty)(e^x(1+sqrt(1+1/x^2)))/(x^3(1-(1+1/x^2)))$

$lim_(x->-infty)(1+sqrt(1+1/x^2))/(-xe^(-x))$

Ovviamente questo limite fa $0$.
Procedendo allo stesso modo con l'altro, arriviamo direttamente a:

$-lim_(x->-infty)(x(1+sqrt(1+1/x^2)))/(-x)=lim_(x->-infty)(1+sqrt(1+1/x^2))$

Il risultato di questo limite è $2$.