Esercizi su parabola
Ciao a tutti. Sono disperata! :'(
Non riesco a risolvere questi esercizi... Mi potreste aiutare per favore?
1)Scrivi le equazioni delle parabole aventi asse di equazione x=4, direttrice y=37/4 e passanti per il punto A(0;-7). Detti V1 e V2 i loro vertici e B l'altro loro punto di intersezione, calcola l'area del quadrilatero AV1BV2.
2)Determina la parabola di vertice V(-9;2) che divide l'asse y in un segmento lungo 6. Studia il numero di intersezioni tra la parabola e le rette y=mx+9m al variare di m in R.
3)Nella parte di piano compresa tra la parabola y=-x^2+4x e l'asse x, inscrivi un quadrato e calcolane perimetro e area.
Allora, per quanto riguarda l'esercizio 1, ho imposto il passaggio per A mettendo a sistema l'eq. dell'asse (x=-b/2a), la direttrice (y=-1+b^2-4ac/4a) e le coordinate del punto A in relazione all'equazione y=ax^2+by+c, e ho trovato la seguente equazione: y=-x^2+8x-7
Poi non so come continuare...
Nell'esercizio 2, ho dedotto che la corda che si viene a formare ha gli estremi in (0;0) e (0;6) e quindi la parabola passa per i punti (-9;2) (0;0) e (0;6). Poi ho messo a sistema i punti in relazione all'equazione generale della parabola, stavolta parallela all'asse x (x=ay^2+by+c) e ho trovato questa equazione: x=9/8y^2-27/4y (è giusta?).
Anche qui non so come continuare...
Nell'esercizio 3, ho dedotto che un lato del quadrato giace sull'asse x e l'altro lato orizzontale giace sulla retta generica y=k. Allora ho fatto il sistema tra l'equazione della parabola e y=k e ho trovato questa equazione: -x^2+4x-k=0
Successivamente ho ricavato le ascisse dei vertici x1=2-√(16-4k) e x2=2+√(16-4k)
Anche qui niente...
Vi prego, help me!
Non riesco a risolvere questi esercizi... Mi potreste aiutare per favore?
1)Scrivi le equazioni delle parabole aventi asse di equazione x=4, direttrice y=37/4 e passanti per il punto A(0;-7). Detti V1 e V2 i loro vertici e B l'altro loro punto di intersezione, calcola l'area del quadrilatero AV1BV2.
2)Determina la parabola di vertice V(-9;2) che divide l'asse y in un segmento lungo 6. Studia il numero di intersezioni tra la parabola e le rette y=mx+9m al variare di m in R.
3)Nella parte di piano compresa tra la parabola y=-x^2+4x e l'asse x, inscrivi un quadrato e calcolane perimetro e area.
Allora, per quanto riguarda l'esercizio 1, ho imposto il passaggio per A mettendo a sistema l'eq. dell'asse (x=-b/2a), la direttrice (y=-1+b^2-4ac/4a) e le coordinate del punto A in relazione all'equazione y=ax^2+by+c, e ho trovato la seguente equazione: y=-x^2+8x-7
Poi non so come continuare...
Nell'esercizio 2, ho dedotto che la corda che si viene a formare ha gli estremi in (0;0) e (0;6) e quindi la parabola passa per i punti (-9;2) (0;0) e (0;6). Poi ho messo a sistema i punti in relazione all'equazione generale della parabola, stavolta parallela all'asse x (x=ay^2+by+c) e ho trovato questa equazione: x=9/8y^2-27/4y (è giusta?).
Anche qui non so come continuare...
Nell'esercizio 3, ho dedotto che un lato del quadrato giace sull'asse x e l'altro lato orizzontale giace sulla retta generica y=k. Allora ho fatto il sistema tra l'equazione della parabola e y=k e ho trovato questa equazione: -x^2+4x-k=0
Successivamente ho ricavato le ascisse dei vertici x1=2-√(16-4k) e x2=2+√(16-4k)
Anche qui niente...
Vi prego, help me!
Risposte
Nel problema 1 devi risolvere il sistema
${(-b/(2a)=4), ((-1-b^2+4ac)/(4a)=37/4), (c=-7):}$.
Le soluzioni sono
${(a=-1), (b=8), (c=-7):}$
e
${(a=-1/(64)), (b=1/8), (c=-7):}$.
E quindi le due parabole sono
$y=-x^2+8x-7$
e
$y=-1/64 x^2+1/8x-7$.
I vertici sono
$V_1(4, 9)$, $V_2(4, -27/4)$
e
$B(8, -7)$.
${(-b/(2a)=4), ((-1-b^2+4ac)/(4a)=37/4), (c=-7):}$.
Le soluzioni sono
${(a=-1), (b=8), (c=-7):}$
e
${(a=-1/(64)), (b=1/8), (c=-7):}$.
E quindi le due parabole sono
$y=-x^2+8x-7$
e
$y=-1/64 x^2+1/8x-7$.
I vertici sono
$V_1(4, 9)$, $V_2(4, -27/4)$
e
$B(8, -7)$.
Perfetto! Grazie! 
Potresti spiegarmi anche il secondo?
Potresti spiegarmi anche il secondo?
Nel problema 2 mi sembra che gli estremi della corda debbano essere simmetrici rispetto alla retta $y=2$.
Quindi le loro coordinate sono $(0, -1)$ e $(0, 5)$. Allora la parabola passante per i tre punti individuati è $x=(y+1)(y-5)$ oppure $x=y^2-4y-5$.
Quindi le loro coordinate sono $(0, -1)$ e $(0, 5)$. Allora la parabola passante per i tre punti individuati è $x=(y+1)(y-5)$ oppure $x=y^2-4y-5$.
Ok grazie! So che chiedo troppo ma... potresti spiegarmi anche il terzo? 
Ciao, Ele123, benvenuta nel forum. Ho guardato il primo esercizio, ho dedotto che sei una pasticciona 
, hai invertito il segno nella formula della direttrice, sei riuscita ad ottenere un solo risultato da un sistema di secondo grado, e, dopo una marea di conti, ti sei fermata sul più bello, quando le cose sarebbero state facili.
Ricominciamo:
- per prima cosa controlla la formula della direttrice e sostituisci quella corretta,
- risolvi il sistema e scrivi le due parabole soluzione,
- mettile a sistema e trova i due punti di intersezione, uno sarà ancora il punto A, mentre l'altro deve essere il suo simmetrico rispetto all'asse delle parabole, quindi $B(8, -7)$,
- trova le ordinate dei vertici delle parabole (le ascisse ti sono già note e valgono 4),
- il quadrilatero che ottieni è un "aquilone", in cui le diagonali sono perpendicolari, puoi trovarne l'area facendo
$A=(bar(V_1 V_2)*bar(AB))/2$, come per l'area di un rombo.
Per il secondo esercizio, sai che la retta $y=2$ è asse di simmetria per la parabola, quindi le due intersezioni con l'asse delle ordinate devono essere simmetriche al punto $(0, 2)$, saranno $(0, -1)$ e $(0, 5)$, la parabola passante per i tre punti è $x=y^2-4y-5$. Adesso devi disegnare il fascio di rette, che ha centro in $(-9, 0)$, puoi osservare subito che una delle rette del fascio tangenti alla parabola è la retta $x= -9$, mentre per trovare l'altra devi mettere a sistema il fascio con l'equazione della parabola, scrivi l'equazione di secondo grado risolvente il sistema e imponi $Delta >=0$ ottenendo una disequazione nel parametro $m$ che ti permette di rispondere all'ultima domanda.
Nel terzo esercizio hai sbagliato la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado: hai fatto un miscuglio tra quella completa e la ridotta, le soluzioni corrette sono $x_1=2-sqrt(4-k)$ e $x_2=2+sqrt(4-k)$. Adesso devi trovare la misura della base del rettangolo e imporla uguale alla misura dell'altezza:
$2sqrt(4-k)=k$, l'equazione risultante sarà di secondo grado e ammetterà due soluzioni, devi scartare quella in cui k è negativo perché non rispetta le condizioni del problema.
, hai invertito il segno nella formula della direttrice, sei riuscita ad ottenere un solo risultato da un sistema di secondo grado, e, dopo una marea di conti, ti sei fermata sul più bello, quando le cose sarebbero state facili. Ricominciamo:
- per prima cosa controlla la formula della direttrice e sostituisci quella corretta,
- risolvi il sistema e scrivi le due parabole soluzione,
- mettile a sistema e trova i due punti di intersezione, uno sarà ancora il punto A, mentre l'altro deve essere il suo simmetrico rispetto all'asse delle parabole, quindi $B(8, -7)$,
- trova le ordinate dei vertici delle parabole (le ascisse ti sono già note e valgono 4),
- il quadrilatero che ottieni è un "aquilone", in cui le diagonali sono perpendicolari, puoi trovarne l'area facendo
$A=(bar(V_1 V_2)*bar(AB))/2$, come per l'area di un rombo.
Per il secondo esercizio, sai che la retta $y=2$ è asse di simmetria per la parabola, quindi le due intersezioni con l'asse delle ordinate devono essere simmetriche al punto $(0, 2)$, saranno $(0, -1)$ e $(0, 5)$, la parabola passante per i tre punti è $x=y^2-4y-5$. Adesso devi disegnare il fascio di rette, che ha centro in $(-9, 0)$, puoi osservare subito che una delle rette del fascio tangenti alla parabola è la retta $x= -9$, mentre per trovare l'altra devi mettere a sistema il fascio con l'equazione della parabola, scrivi l'equazione di secondo grado risolvente il sistema e imponi $Delta >=0$ ottenendo una disequazione nel parametro $m$ che ti permette di rispondere all'ultima domanda.
Nel terzo esercizio hai sbagliato la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado: hai fatto un miscuglio tra quella completa e la ridotta, le soluzioni corrette sono $x_1=2-sqrt(4-k)$ e $x_2=2+sqrt(4-k)$. Adesso devi trovare la misura della base del rettangolo e imporla uguale alla misura dell'altezza:
$2sqrt(4-k)=k$, l'equazione risultante sarà di secondo grado e ammetterà due soluzioni, devi scartare quella in cui k è negativo perché non rispetta le condizioni del problema.
Ok grazie mille! Un' ultima domanda: nel secondo problema, il fascio di rette è quello passante per le due intersezioni con l'asse delle ordinate?
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