Esercizi su equazioni logaritmiche.

[lapoalberto77]

salve,

ho dei problemi nella risoluzione di alcune delle seguenti eq.
spero possiate cortesemente aiutarmi.

1) $(x^2-1)2^(log_2(x-2))=log_(2)2^((x+1))$ soluz.: $(3+sqrt(5))/2$
2) $logx=log_(10)x$ soluz.: $1$
3) $log(e^x+e)=2$ soluz.: $1+log(e-1)$
4) $sqrt(logx)=1-logx$ soluz.: $e^((3-sqrt(5))/2)$

l'1) e la 2) ho avuto difficoltà a farle.

ho provato a fare la 3) e 4) incomplete. scrivo qui comunque i passaggi che ho fatto,
per vedere come si arriva alla fine:

3) $log(e^x+e)=2$
pongo l'argomento del log. > 0
$e^x+e>0 \Rightarrow e^x> -e \Rightarrow$ sempre positivo
procedo
$\Rightarrow e^x+e=e^2 \Rightarrow e^x=e^2-e \Rightarrow e^x=e(e-1)$
e mi fermo qui... quale procedimento seguire per andare avanti?

4) $sqrt(logx)=1-logx$
domanda: qui si deve studiare il dominio del logaritmo?
si tratta di una eq. irrazionale, perciò sistema per la risoluzione:
$\{(1-logx>0),((1-logx)^2=logx):}$
procedo con la prima...
$logx<1 \Rightarrow x procedo con la seconda eq....
$\Rightarrow 1+log^2x-2logx=logx$
$\Rightarrow log^2x-3logx+1=0$
pongo $logx=t$
$t^2-3t+1=0$
trovo le soluzioni: $(3 \pm sqrt(5))/2$
poi come procedo?


spero possiate aiutarmi.
mille grazie.

[leena1]

"lapoalberto77":3) $log(e^x+e)=2$
pongo l'argomento del log. > 0
$e^x+e>0 \Rightarrow e^x> -e \Rightarrow$ sempre positivo
procedo
$\Rightarrow e^x+e=e^2 \Rightarrow e^x=e^2-e \Rightarrow e^x=e(e-1)$
e mi fermo qui... quale procedimento seguire per andare avanti?

Ora per ottenere la x passa di nuovo al logaritmo..

[GPaolo1]

Per la seconda equaz., cambia base ad uno dei termini.

[leena1]

"lapoalberto77":4) $sqrt(logx)=1-logx$
domanda: qui si deve studiare il dominio del logaritmo?
si tratta di una eq. irrazionale, perciò sistema per la risoluzione:
$\{(1-logx>0),((1-logx)^2=logx):}$
procedo con la prima...
$logx<1 \Rightarrow x procedo con la seconda eq....
$\Rightarrow 1+log^2x-2logx=logx$
$\Rightarrow log^2x-3logx+1=0$
pongo $logx=t$
$t^2-3t+1=0$
trovo le soluzioni: $(3 \pm sqrt(5))/2$
poi come procedo?

Per quanto riguarda la prima disequazione del sistema puoi anche utilizzare $>=0$ siccome la radice puo' essere pari a 0..
Poi devi studiare sia il dominio del logaritmo ($x>=0$), che imporre la condizione per la radice($logx>=0$)
Quindi controllare se le due soluzione che hai trovato si trovano negli intervalli ottenuti dalle disequazioni..

[leena1]

"lapoalberto77":1) $(x^2-1)2^(log_2(x-2))=log_(2)2^((x+1))$ soluz.: $(3+sqrt(5))/2$

Devi ricordati che legame c'è tra l'esponenziale e il logaritmo e ricordati qualche proprietà dei logaritmi..
Quanto fa $a^(log_ax)$? Quanto fa $log_aa^x$?
Fatto questo ti verrà una semplice equazione di secondo grado..
Ps. Ovviamente anche qui devi studiare il dominio del logaritmo

[GPaolo1]

"leena":[quote="lapoalberto77"]1) $(x^2-1)2^(log_2(x-2))=log_(2)2^((x+1))$ soluz.: $(3+sqrt(5))/2$

Devi ricordati che legame c'è tra l'esponenziale e il logaritmo e ricordati qualche proprietà dei logaritmi..
Quanto fa $a^(log_ax)$? Quanto fa $log_aa^x$?
Fatto questo ti verrà una semplice equazione di secondo grado..
Ps. Ovviamente anche qui devi studiare il dominio del logaritmo[/quote]

Non viene di secondo grado.

[@melia]

"GPaolo":Non viene di secondo grado.

Quasi. Viene $(x+1)*(x^2-3x+1)=0

[leena1]

$x+1=0$ non l'avevo considerata perché non dà una soluzione accettabile..
E quindi ti resta l'equazione di secondo grado!

[lapoalberto77]

Quanto fa $a^(log_ax)$? Quanto fa $log_aa^x$?

per il secondo quesito l'esponente diventa coefficente perciò si ottiene $xlog_aa$; per il primo non lo so... com'è?

[leena1]

E $log_aa$ quanto fa?

Il primo segue dalla definizione di logaritmo..
Guarda qui ad esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
unisci le prime due equazioni