Esercizi su decomposizione delle funzioni fratte algebrichemate

[giulietta1989]

INT x senx dx

INT ex cosx dx

Qualcuno mi aiuta a risolverle? Si parla di decomposizione di funzioni fratte.

[carlogiannini]

[math]\int{(xsenx)}dx[/math]

,
si può provare a risolverlo con il metodo di integrazione per parti.
Dico "si può provare" perché non è detto che questo metodo funzioni sempre, in quanto si ottengono DUE integrali che a volte sono più complicati di quello di partenza.
Infatti, mentre siamo in grado di "derivare" qualsiasi funzione, lo stesso non si può dire della "integrazione", inoltre se prendiamo la normale potenza di "x" da "derivata" la abbassa di grado (rendendola più semplice) mentre l'"integrale" la alza di grado, rendendola più complicata.
In generale non sappiamo fare "GLI" integrali (intendendo TUTTI) ma solo "ALCUNI" integrali.
Nel caso di:

[math]\int{(f*g)}[/math]

,
sappiamo che di una delle due funzioni dovremo calcolare la derivata MA dell'altra dovremo calcolare l'integrale (cioè cercarne una primitiva).
Quindi è fondamentale capire quale delle due ci creerà meno problemi integrandola.
In questo caso, poiché:
la derivata di "x" è 1
e
le primitive di seno e coseno si scambiano tra di loro (a parte il segno), viene spontaneo porre:
f = x
G = senx
da cui ricaviamo:
g = -cosx
intendendo col la lettera maiuscola la primitiva.
Allora:
.

[math]\int (f*G)=f*G-\int (f'*g)= x(-cosx)-\int 1*(-cosx)[/math]

=
.
=

[math]-xcosx+senx +c[/math]

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Per capire che la scelta d "f" e "G" è FONDAMENTALE, proviamo a fare il contrario, cioè:
f = senx
G = x
la primitiva di x è:
g =

[math]\frac{x^2}{2}[/math]

,
quindi troviamo:
.
....=

[math]senx(\frac{x^2}{2})-\int cosx\frac{x^2}{2}+c[/math]

,
.
in cui l'integrale ottenuto è PEGGIO di quello di partenza!!!!
Come vedi in questo modo non si va da nessuna parte.
Quindi, se al primo tentativo l'integrazione per parti non funziona, si prova invertendo "f" e "G", sperando di essere più fortunati