Esercizi per i maturandi
Propongo 2 problemi per chi si vuole allenare per la prova di matematica
della ormai prossima maturita'.So bene che ci sono varie fonti dove attingere
simili prove (una proprio su questo Forum) ma tant'e' , qualcuna in piu'
(sia pure di non grande calibro) non guastera'.
Allora:
1)Sia $ f:[0,1]->R$ una funzione numerica definita e continua
sull'intervallo $[0,1]$ .
Supponendo che $f(0)=f(1)=0$ e che per tutti gli $x$ reali dell'intervallo
$[0,7/10]$ risulti $ f(x+3/10) \ne f(x)$ ,dimostrare che l'equazione $f(x)=0$ ha almeno 7 (sette)
soluzioni in $[0,1]$
***************************************************************************
2) Si consideri in un piano,nel quale e' fissato un riferimento cartesiano
ortogonale monometrico Oxy,il triangolo AOB con :
$OA=sqrt2,OB=1$ (rispetto all'unita' scelta) ,A sul semiasse x positivo,B sul semiasse y positivo.
Si scriva l'equazione cartesiana del luogo dei punti del piano da ciascuno dei
quali il segmento AB e' visto sotto l'angolo di 120°
Tra le intersezioni di tale luogo con gli assi cartesiani si scelgano quelle piu'
vicine all'origine O e le si chiami M ed N (M su x ed N su y).
Calcolare l'area della parte finita di piano limitata dagli assi cartesiani e
dal minore degli archi del luogo aventi estremi in M ed N.
Archimede.
della ormai prossima maturita'.So bene che ci sono varie fonti dove attingere
simili prove (una proprio su questo Forum) ma tant'e' , qualcuna in piu'
(sia pure di non grande calibro) non guastera'.
Allora:
1)Sia $ f:[0,1]->R$ una funzione numerica definita e continua
sull'intervallo $[0,1]$ .
Supponendo che $f(0)=f(1)=0$ e che per tutti gli $x$ reali dell'intervallo
$[0,7/10]$ risulti $ f(x+3/10) \ne f(x)$ ,dimostrare che l'equazione $f(x)=0$ ha almeno 7 (sette)
soluzioni in $[0,1]$
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2) Si consideri in un piano,nel quale e' fissato un riferimento cartesiano
ortogonale monometrico Oxy,il triangolo AOB con :
$OA=sqrt2,OB=1$ (rispetto all'unita' scelta) ,A sul semiasse x positivo,B sul semiasse y positivo.
Si scriva l'equazione cartesiana del luogo dei punti del piano da ciascuno dei
quali il segmento AB e' visto sotto l'angolo di 120°
Tra le intersezioni di tale luogo con gli assi cartesiani si scelgano quelle piu'
vicine all'origine O e le si chiami M ed N (M su x ed N su y).
Calcolare l'area della parte finita di piano limitata dagli assi cartesiani e
dal minore degli archi del luogo aventi estremi in M ed N.
Archimede.
Risposte
2) Proviamoci Archimde.
Ho iniziato con Carnot ma l'equzione era troppo calcolosa e quindi ho lasciato perdere.
Proviamo invece a trovare l'equazione parametrica del luogo.
Applicando il teorema dei seni al triangolo $APB$ con $P$ di coordinate $(x;y)$ otteniamo:
$sqrt(y^2+(sqrt2-x)^2)/sinu=sqrt(3)/sin(2/3pi)$ dove $u$ è un angolo del nostro triangolo che assumeremo come parametro. A questo punto, sviluppando i calcoli otteniamo:
$4x^2+4y^2-8sqrt2x-sin^2u+8=0$
che dovrebbe rappresentare una ellisse.
Prima di continuare dimmi se è giusto o se ho sparato baggianate.
Ciao
Ho iniziato con Carnot ma l'equzione era troppo calcolosa e quindi ho lasciato perdere.
Proviamo invece a trovare l'equazione parametrica del luogo.
Applicando il teorema dei seni al triangolo $APB$ con $P$ di coordinate $(x;y)$ otteniamo:
$sqrt(y^2+(sqrt2-x)^2)/sinu=sqrt(3)/sin(2/3pi)$ dove $u$ è un angolo del nostro triangolo che assumeremo come parametro. A questo punto, sviluppando i calcoli otteniamo:
$4x^2+4y^2-8sqrt2x-sin^2u+8=0$
che dovrebbe rappresentare una ellisse.
Prima di continuare dimmi se è giusto o se ho sparato baggianate.
Ciao
La tua ellisse e' in realta una circonferenza ed effettivamente
il luogo richiesto e' tale (un arco di circonf,per la precisione).
Il problema e' come eliminare il parametro u.Forse potresti
applicare il teorema dei seni ad altri due lati di APB e poi eliminare u
tra le due equazioni (tenendo conto che sin^2u+cos^2u=1):
la vedo un po' pesante ma puoi sempre provare.Strade alternative
potrebbero essere quella analitica (ricordando la formula dell'angolo
di due rette) oppure quella sintetica (con uno... spruzzo di analitica).
Quest'ultima via e' la piu' semplice se si ricorda che il luogo dei
punti che vedono un segmento dato sotto un angolo fisso e'.....una cosa
che ha a che fare proprio con la circonferenza!!
Ciao.
Archimede
il luogo richiesto e' tale (un arco di circonf,per la precisione).
Il problema e' come eliminare il parametro u.Forse potresti
applicare il teorema dei seni ad altri due lati di APB e poi eliminare u
tra le due equazioni (tenendo conto che sin^2u+cos^2u=1):
la vedo un po' pesante ma puoi sempre provare.Strade alternative
potrebbero essere quella analitica (ricordando la formula dell'angolo
di due rette) oppure quella sintetica (con uno... spruzzo di analitica).
Quest'ultima via e' la piu' semplice se si ricorda che il luogo dei
punti che vedono un segmento dato sotto un angolo fisso e'.....una cosa
che ha a che fare proprio con la circonferenza!!
Ciao.
Archimede
Il luogo allora dovrebbe essere dato dall'arco di circonferenza per il quale l'angolo alla circonferenza sotteso dalla corda $AB$ sia uguale a $120°$.
Ci aspettiamo dunque di trovare due diversi archi di circonferenza che comprendono rispettivamente i punti che si trovano al di sopra e al di sotto del segmento $AB$.
Applicando il teorema dei seni della corda si ha che:
$(AB)/(sin(2/3pi))=2R; R=1$
La circonferenza cercata sarà nella forma $x^2+y^2+alphax+betay+gamma$
Imponendo il passaggio per i punti $A$ e $B$ e ricordando la formula del raggio della circonferenza otteniamo il seguente sistema:
${(2+sqrt2+gamma=0), (1+beta+gamma=0), (1=sqrt((-alpha/2)^2+(-beta/2)^2-gamma)):}$
Risolvendo il sistema ci accorgiamo che le due circonferenze sono:
$C_(1): x^2+y^2-((sqrt3+3sqrt2)/3)x-(sqrt(2/3)+1)y+sqrt(2/3)$ e
$C_(2): x^2+y^2+((sqrt3-3sqrt2)/3)x+(sqrt(2/3)-1)y-sqrt(2/3)$.
Giusto?
Ci aspettiamo dunque di trovare due diversi archi di circonferenza che comprendono rispettivamente i punti che si trovano al di sopra e al di sotto del segmento $AB$.
Applicando il teorema dei seni della corda si ha che:
$(AB)/(sin(2/3pi))=2R; R=1$
La circonferenza cercata sarà nella forma $x^2+y^2+alphax+betay+gamma$
Imponendo il passaggio per i punti $A$ e $B$ e ricordando la formula del raggio della circonferenza otteniamo il seguente sistema:
${(2+sqrt2+gamma=0), (1+beta+gamma=0), (1=sqrt((-alpha/2)^2+(-beta/2)^2-gamma)):}$
Risolvendo il sistema ci accorgiamo che le due circonferenze sono:
$C_(1): x^2+y^2-((sqrt3+3sqrt2)/3)x-(sqrt(2/3)+1)y+sqrt(2/3)$ e
$C_(2): x^2+y^2+((sqrt3-3sqrt2)/3)x+(sqrt(2/3)-1)y-sqrt(2/3)$.
Giusto?
Perfetto,le circonferenze sono quelle anche se poi occorre
aggiungere delle limitazioni dal momento che di esse occorre
prendere solo un arco (quello minore compreso
tra A e B).
Adesso rimane da calcolare l'area. Ci si puo' limitare a farlo
solo per la C1 ,vista la simmetria del problema.
Bene Giuseppe prova un po' anche il primo.
Ma te sei l'unico maturando o c'e' penuria sul Forum ?
Archimede
aggiungere delle limitazioni dal momento che di esse occorre
prendere solo un arco (quello minore compreso
tra A e B).
Adesso rimane da calcolare l'area. Ci si puo' limitare a farlo
solo per la C1 ,vista la simmetria del problema.
Bene Giuseppe prova un po' anche il primo.
Ma te sei l'unico maturando o c'e' penuria sul Forum ?
Archimede
Le intersezioni della circonferenza $C_(1)$ con gli assi cartesiani danno le seguenti soluzioni:
$x_(1)=sqrt3/3; x_(2)=sqrt2$ e
$y_(1)=sqrt(2/3); y_(2)=1$
Scegliamo quindi $M_(x)=sqrt3/3$ e $N_(y)=sqrt(2/3)$
La funzione da integrare è la semicirconferenza inferiore della $C_(1)$; esplicitando la $F(x, y)=0$ in funzione di $y$ otteniamo:
$y=(sqrt(2/3)+1+-sqrt((5+6sqrt6-12x^2+4sqrt3x+12sqrt2x)/3))/2$
da cui
$S=int_{0}^{sqrt3/3}(sqrt(2/3)+1+-sqrt((5+6sqrt6-12x^2+4sqrt3x+12sqrt2x)/3))/2$$
Ok ora vado a studiare..più tardi vedo di semplificare quel radicale e di far comparire il quadrato di binomio.
Ciao.
$x_(1)=sqrt3/3; x_(2)=sqrt2$ e
$y_(1)=sqrt(2/3); y_(2)=1$
Scegliamo quindi $M_(x)=sqrt3/3$ e $N_(y)=sqrt(2/3)$
La funzione da integrare è la semicirconferenza inferiore della $C_(1)$; esplicitando la $F(x, y)=0$ in funzione di $y$ otteniamo:
$y=(sqrt(2/3)+1+-sqrt((5+6sqrt6-12x^2+4sqrt3x+12sqrt2x)/3))/2$
da cui
$S=int_{0}^{sqrt3/3}(sqrt(2/3)+1+-sqrt((5+6sqrt6-12x^2+4sqrt3x+12sqrt2x)/3))/2$$
Ok ora vado a studiare..più tardi vedo di semplificare quel radicale e di far comparire il quadrato di binomio.
Ciao.
Io avevo affrontato un problema simile e l'ho fatto con un procedimento ke è stato proposto già:
-gli angoli alla circonferenza ke insistono su uno stesso arco sono uguali + un po' di analitica
E per il primo esercizio?
Io nn saprei farlo.... Voi cosa proponete...
PS: Anch'io purtroppo sono un maturando!!!
-gli angoli alla circonferenza ke insistono su uno stesso arco sono uguali + un po' di analitica
E per il primo esercizio?
Io nn saprei farlo.... Voi cosa proponete...
PS: Anch'io purtroppo sono un maturando!!!
Quell'integrale fa paura,consiglierei invece di calcolare MN.
Chissa' che non ci sia sotto....una sorpresa.
Archimede
Chissa' che non ci sia sotto....una sorpresa.
Archimede
Allora credo di aver capito...
$MN=sqrt(1/3+2/3)=1$
Ciò significa che il triangolo $MCN$ dove $C$ è il centro della circonferenza $C_(1)$ è equilatero.
L'area del triangolo $MON$ è $1/2*sqrt3/3*sqrt(2/3)=sqrt2/6$
La superficie $S$ richiesta sarà data da $A_(MON)-A_(sc)$ dove con $A_(sc)$ indico l'area del segmento circolare che l'ipotenusa del triangolo $MON$ sottende alla circonferenza.
L'area del settore circolare è data da $A_(SC)=1/2*pi/3=pi/6$, mentre quella del triangolo $MCN$ è $A_(MCN)=1/2sin(pi/3)=sqrt3/4$
Ora la nostra superficie $S$ sarà data da:
$S=A_(MON)-A_(sc)=A_(MON)-A_(SC)+A_(MCN)=sqrt2/6-pi/6+sqrt3/4=1/2(sqrt2/3-pi/3+sqrt3/2)$
Giusto?
$MN=sqrt(1/3+2/3)=1$
Ciò significa che il triangolo $MCN$ dove $C$ è il centro della circonferenza $C_(1)$ è equilatero.
L'area del triangolo $MON$ è $1/2*sqrt3/3*sqrt(2/3)=sqrt2/6$
La superficie $S$ richiesta sarà data da $A_(MON)-A_(sc)$ dove con $A_(sc)$ indico l'area del segmento circolare che l'ipotenusa del triangolo $MON$ sottende alla circonferenza.
L'area del settore circolare è data da $A_(SC)=1/2*pi/3=pi/6$, mentre quella del triangolo $MCN$ è $A_(MCN)=1/2sin(pi/3)=sqrt3/4$
Ora la nostra superficie $S$ sarà data da:
$S=A_(MON)-A_(sc)=A_(MON)-A_(SC)+A_(MCN)=sqrt2/6-pi/6+sqrt3/4=1/2(sqrt2/3-pi/3+sqrt3/2)$
Giusto?
Giustissimo,Giuseppe.
Spero che questo problema sia stato utile in qualche modo.
Archimede
Spero che questo problema sia stato utile in qualche modo.
Archimede
OK grazie. Qualche suggerimento per iniziare il primo?
Si puo' studiare la funzione f(x+3/10)-f(x)
stabilendo prima il suo segno e poi calcolandola
per valori crescenti di 3/10 in 3/10.
Archimede.
stabilendo prima il suo segno e poi calcolandola
per valori crescenti di 3/10 in 3/10.
Archimede.
Per il primo quesito si puo' ragionare cosi'.
La funzione f(x+3/10)-f(x) deve avere in [0,7/10] un segno costante.Infatti
se per due valori x1 e x2 di tale intervallo essa potesse assumere valori di segno opposto, per la continuita,in ]x1,x2[ dovrebbe esistere qualche x0 in cui la funzione si annulli:
f(x0+3/10)-f(x0)=0 da cui f(x0+3/10)=f(x0) contro l'ipotesi fatta.
Supponiamo allora che in [0,7/10] sia f(x+3/10)-f(x)>0 ovvero f(x)
Iniziando da x=0 si ha:
0=f(0)
f(1/10)
x------>0.......1/10.......3/10.....4/10.......6/10......7/10......9/10......1
f(x)--->0..........-............+...........-............+............-...........+.........0
Da qui si vede,sempre per la ipotizzata continuita', che f(x) ha almeno 5 zeri in ]0,1[
che poi diventano 7 conteggiando anche 0 ed 1.
Archimede
La funzione f(x+3/10)-f(x) deve avere in [0,7/10] un segno costante.Infatti
se per due valori x1 e x2 di tale intervallo essa potesse assumere valori di segno opposto, per la continuita,in ]x1,x2[ dovrebbe esistere qualche x0 in cui la funzione si annulli:
f(x0+3/10)-f(x0)=0 da cui f(x0+3/10)=f(x0) contro l'ipotesi fatta.
Supponiamo allora che in [0,7/10] sia f(x+3/10)-f(x)>0 ovvero f(x)
Iniziando da x=0 si ha:
0=f(0)
f(1/10)
x------>0.......1/10.......3/10.....4/10.......6/10......7/10......9/10......1
f(x)--->0..........-............+...........-............+............-...........+.........0
Da qui si vede,sempre per la ipotizzata continuita', che f(x) ha almeno 5 zeri in ]0,1[
che poi diventano 7 conteggiando anche 0 ed 1.
Archimede
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