Esercizi parabola (48499)
vi prego mi aiutereste su questi es. grazie mille...
1)scrivi l'equazione della retta che interseca la parabola y=1/4x2-1 nei due punti A e B di ascissa 0e4.calcola la lunghezza della corda ab e l'area del triangolo ABO,essendo O l'origine degli assi [y=x-1; 4radici di 2; 2]
2)dopo aver determinato le intersezioni A e B della retta y=x-3 con la parabola y=-x2+3x+5,di vertice v,calcola l'area del triangolo ABV [A(4;1)B(-2;-5);AREA=105/4]
3)disegna la parabola di equazione y=-x2-2x+7.dal punto c(0;11)traccia le due tangenti e determina le coordinate dei punti A e Bdi tangenza.calcola l'area del triangolo ABC [y=2x+11; y=-6x+11; a(2;-1) b(-2;7);area=16]
grazie mille....
Aggiunto 1 ore 49 minuti più tardi:
perfetto...capito!
Aggiunto 50 minuti più tardi:
si mi serve sia il 2 che il 3...perche in tanto sto facendo altri 5 es sulla circonferenza...grazie davvero per l'aiuto...
Aggiunto 30 minuti più tardi:
ok...perfetto...manca solo il 3...grazie davvero...è solo che sono macato alle 2 spiegazioni e non ci stavo capendo niente!
Aggiunto 54 minuti più tardi:
grazie mille!
1)scrivi l'equazione della retta che interseca la parabola y=1/4x2-1 nei due punti A e B di ascissa 0e4.calcola la lunghezza della corda ab e l'area del triangolo ABO,essendo O l'origine degli assi [y=x-1; 4radici di 2; 2]
2)dopo aver determinato le intersezioni A e B della retta y=x-3 con la parabola y=-x2+3x+5,di vertice v,calcola l'area del triangolo ABV [A(4;1)B(-2;-5);AREA=105/4]
3)disegna la parabola di equazione y=-x2-2x+7.dal punto c(0;11)traccia le due tangenti e determina le coordinate dei punti A e Bdi tangenza.calcola l'area del triangolo ABC [y=2x+11; y=-6x+11; a(2;-1) b(-2;7);area=16]
grazie mille....
Aggiunto 1 ore 49 minuti più tardi:
perfetto...capito!
Aggiunto 50 minuti più tardi:
si mi serve sia il 2 che il 3...perche in tanto sto facendo altri 5 es sulla circonferenza...grazie davvero per l'aiuto...
Aggiunto 30 minuti più tardi:
ok...perfetto...manca solo il 3...grazie davvero...è solo che sono macato alle 2 spiegazioni e non ci stavo capendo niente!
Aggiunto 54 minuti più tardi:
grazie mille!
Risposte
1) Per prima cosa dovrai trovare le coordinate dei punti A e B, che dal momento che appartengono alla parabola, ne soddisferanno l'equazione:
e
Pertanto hai le coordinate:
Ora direi che la retta passante per due punti dovresti essere in grado di trovarla.
(si tratta di applicare la formula
oppure di risolvere il sistema
Per l'area del triangolo ti occorrono:
la base, che altro non e' che la distanza tra il punto A e il punto B
La distanza tra due punti e' semplicemente, per il teorema di Pitagora,
Mentre l'altezza sara' la distanza tra la retta (scritta in forma implicita) e il punto P (l'origine) applicando la formula
dove (ovviamente) a,b,c sono i parametri della retta in forma implicita ax+by+c=0
Dimmi se riesci e passiamo al secondo
Aggiunto 1 ore 54 minuti più tardi:
Il secondo ti serve ancora?
Aggiunto 14 minuti più tardi:
Il secondo e' del tutto analogo..
Per trovare le intersezioni tra retta e parabola dovrai impostare un sistema in modo da trovare le coordinate dei punti che, appunto, appartengano ad entrambe.
Da cui per confronto, ad esempio, siccome y=y allora
E dunque
E quindi, usando la ridotta
E quindi
x=4 e x=-2
Sostituendo alla retta otteniamo le rispettive ordinate (ma, ovviamente, otteniamo le stesse ordinate anche sostituendo le ascisse alla parabola!)
Una volta trovati i punti, ne calcoliamo la distanza come prima (base del triangolo).
La retta passante per entrambi i punti questa volta gia' ce l'abbiamo.
Il vertice lo calcoliamo, ricordando che
E pertanto troveremo l'altezza del triangolo grazie alla distanza PUNTO (vertice) / retta (x-y-3=0 in forma implicita)
Aggiunto 10 minuti più tardi:
IL TERZO:
Ricordiamo l'equazione del fascio di rette passante per un punto:
Pertanto il fascio di rette sara':
Ora troviamo i punti di intersezione tra il fascio e la parabola
Di nuovo per confronto avremo
Risolvendo l'equazione di secondo grado, troviamo le generiche ascisse (in funzione di m) dei punti diintersezione.
Dal momento che vogliamo che la retta sia tangente alla parabola, l'ascissa dei punti di intersezione dovra' essere una sola. E per fare in modo che una equazione di secondo grado abbia una sola soluzione (ovvero due soluzioni coincidenti) occorrera' che il delta sia nullo.
Poniamo dunque il delta = 0 e avremo:
Risolviamo l'equazione di secondo grado e troviamo i valori di m che annullano il delta.
Con la ridotta:
E dunque
Pertanto le due rette tangenti saranno
Per trovare i punti di tangenza, ora, o metti a sistema ogni retta con la parabola, o sostituisci alla m della soluzione dell'equazione di sopra (di cui pero' ho solo scritto il delta).
Una volta trovati i punti di intersezione, trovi la retta passante per i punti e la distanza da C, come prima..
Aggiunto 1 minuti più tardi:
Il terzo c'e'...
Probabilmente io ho scritto quando tu avevi gia' iniziato a leggere :D
[math] y_A=\frac14 \cdot 0^2 - 1 = -1 [/math]
e
[math] y_B= \frac14 \cdot 4^2 - 1 = 4-1=3 [/math]
Pertanto hai le coordinate:
[math] A ( 0 , -1 ) \\ B (4 ,3) [/math]
Ora direi che la retta passante per due punti dovresti essere in grado di trovarla.
(si tratta di applicare la formula
[math] \frac{y-y_A}{y_B-y_A}= \frac{x-x_A}{x_B-x_A} [/math]
oppure di risolvere il sistema
[math] \{-1=0m+q \\ 3=4m+q [/math]
Per l'area del triangolo ti occorrono:
la base, che altro non e' che la distanza tra il punto A e il punto B
La distanza tra due punti e' semplicemente, per il teorema di Pitagora,
[math] d= \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} [/math]
Mentre l'altezza sara' la distanza tra la retta (scritta in forma implicita) e il punto P (l'origine) applicando la formula
[math] d= \frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]
che nel caso particolare, essendo le coordinate del punto (0,0) sara' semplicemente[math] d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]
dove (ovviamente) a,b,c sono i parametri della retta in forma implicita ax+by+c=0
Dimmi se riesci e passiamo al secondo
Aggiunto 1 ore 54 minuti più tardi:
Il secondo ti serve ancora?
Aggiunto 14 minuti più tardi:
Il secondo e' del tutto analogo..
Per trovare le intersezioni tra retta e parabola dovrai impostare un sistema in modo da trovare le coordinate dei punti che, appunto, appartengano ad entrambe.
[math] \{ y=-x^2+3x+5 \\ y=x-3[/math]
Da cui per confronto, ad esempio, siccome y=y allora
[math] -x^2+3x+5=x-3 [/math]
E dunque
[math] x^2-2x-8=0 [/math]
E quindi, usando la ridotta
[math] x= 1 \pm \sqrt{1+8} \to x= 1 \pm 3 [/math]
E quindi
x=4 e x=-2
Sostituendo alla retta otteniamo le rispettive ordinate (ma, ovviamente, otteniamo le stesse ordinate anche sostituendo le ascisse alla parabola!)
Una volta trovati i punti, ne calcoliamo la distanza come prima (base del triangolo).
La retta passante per entrambi i punti questa volta gia' ce l'abbiamo.
Il vertice lo calcoliamo, ricordando che
[math] x_V=- \frac{b}{2a} [/math]
[math] y_V=- \frac{\Delta}{4a} [/math]
E pertanto troveremo l'altezza del triangolo grazie alla distanza PUNTO (vertice) / retta (x-y-3=0 in forma implicita)
Aggiunto 10 minuti più tardi:
IL TERZO:
Ricordiamo l'equazione del fascio di rette passante per un punto:
[math] y-y_P=m(x-x_P) [/math]
Pertanto il fascio di rette sara':
[math] y-11=mx [/math]
Ora troviamo i punti di intersezione tra il fascio e la parabola
[math] \{ y= -x^2-2x+7 \\ y=mx+11 [/math]
Di nuovo per confronto avremo
[math] -x^2-2x+7=mx+11 \to x^2+(2+m)x+4=0 [/math]
Risolvendo l'equazione di secondo grado, troviamo le generiche ascisse (in funzione di m) dei punti diintersezione.
Dal momento che vogliamo che la retta sia tangente alla parabola, l'ascissa dei punti di intersezione dovra' essere una sola. E per fare in modo che una equazione di secondo grado abbia una sola soluzione (ovvero due soluzioni coincidenti) occorrera' che il delta sia nullo.
Poniamo dunque il delta = 0 e avremo:
[math] \Delta= (2+m)^2-4(4)= 0 \to \\ \to 4+4m+m^2-16=0 \to m^2+4m-12=0 [/math]
Risolviamo l'equazione di secondo grado e troviamo i valori di m che annullano il delta.
Con la ridotta:
[math] m=-2 \pm \sqrt{4+12} = -2 \pm 4 [/math]
E dunque
[math] m_1=2 \\ m_2=-6 [/math]
Pertanto le due rette tangenti saranno
[math] y= 2x+11 \\ y=-6x+11 [/math]
Per trovare i punti di tangenza, ora, o metti a sistema ogni retta con la parabola, o sostituisci alla m della soluzione dell'equazione di sopra (di cui pero' ho solo scritto il delta).
Una volta trovati i punti di intersezione, trovi la retta passante per i punti e la distanza da C, come prima..
Aggiunto 1 minuti più tardi:
Il terzo c'e'...
Probabilmente io ho scritto quando tu avevi gia' iniziato a leggere :D
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo