Esercizi Matematica (63480)

[bleeding_shadow]

Salve, ho diversi compiti di mate ma per ora vi presento questi due esercizi (2 sistemi goniometrici). Vi prego di aiutarmi =)

SISTEMI GONIOMETRICI:
Numero 410

[math]
\left\{
\begin{array}{c}
\sin(x-\frac{\pi}{3})+k\cos(x+\frac{\pi}{6})+1=0\\
\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi
\end{array} \right.
[/math]

Numero 418

[math]
\left\{ \begin{array}{c}
(2-\sqrt3)\sin^2x+\sin x \cos x +\sqrt3-1-k=0\\
\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}
\end{array} \right.
[/math]

Aggiunto 34 minuti più tardi:

Si scusa ho dimenticato di scriverle. eccole qua:
Numero 410:

[math]1\ sol.\ per\ k\in ]\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3}; 3][/math]

[math]2\ sol.\ per\ k\in [2; \frac{2+\sqrt3}{\sqrt3}][/math]

Numero 418:

[math]1\ sol.\ per\ k\in [1;\frac{1+\sqrt3}{2}[[/math]

[math]2\ sol.\ per\ k\in [\frac{1+\sqrt3}{2};\frac{\sqrt3+\sqrt6-\sqrt2}{2}][/math]

[BIT5]

scusami.. hai le soluzioni?

Non capisco (anche se deduco) il tipo di soluzioni richieste

Aggiunto 1 ore più tardi:

Iniziamo dal 410, poi il successivo provi tu e chiedi dove non capisci.

Iniziamo con l'applicare le formule di sottrazione del seno e addizione del coseno, ottenendo:

[math] \sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3} + k \left( \cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 0 [/math]

E quindi, scrivendo i valori di seno e coseno noti:

[math] \frac12 \sin x - \frac{\sqrt3}{2} \cos x + k \frac{\sqrt3}{2} \cos x - k \frac12 \sin x + 1 = 0 [/math]

Raccogliamo ora a fattore parziale seno e coseno, ottenendo

[math] \cos x \left( - \frac{\sqrt3}{2} \left(1-k \right) \right) + \sin x \left( \frac12 \left(1-k\right) \right) + 1 = 0 [/math]

e raccogliamo (1-k)

[math] (1-k) \left( \frac12 \sin x - \frac{\sqrt3}{2} \cos x \right) + 1 = 0 [/math]

Nella parentesi riconosciamo lo sviluppo di una formula di sottrazione: (in quanto 1/2 e radice3/2 sono coseno e seno di 5/3pigreco)

[math] (1-k) \left( \cos \frac53 \pi \sin x + \sin \frac53 \pi \cos x \right) +1 = 0 [/math]

E dunque

[math] (1-k) \sin \left(x + \frac53 \pi \right) + 1 = 0 [/math]

Da cui

[math] \sin \left( x + \frac53 \pi \right) = \frac{-1}{1-k} = \frac{1}{k-1} [/math]

Vediamo ora i valori che potra' assumere l'argomento, sulla base delle limitazioni imposte dalla disuguaglianza nel sistema:

[math] \frac{\pi}{2} \le x \le \pi [/math]

lo finisco dopo ;)

Aggiunto 23 minuti più tardi:

La disuguaglianza, la spezziamo in

[math] \left\{ \begin{array}{c}
x \ge \frac{\pi}{2} \\ x \le \pi
\end{array} \right.
[/math]

Sommiamo a tutti gli addendi il valore 5/3pigreco, in modo da trovare la relazione sulla base dell'argomento che abbiamo:

[math] \left\{
\begin{array}{c}
\frac53 \pi + x \ge \frac53 \pi + \frac{\pi}{2} \\ \frac53 \pi + x \le \frac53 \pi + \pi \end{array} \right.[/math]

E quindi calcolando:

[math] \{ \frac53 \pi + x \ge \frac{13}{6} \pi \\ \frac53 \pi +x \le \frac83 \pi [/math]

Che ricondotti al primo giro di circonferenza (sono entrambi angoli superiori a 2pigreco)

[math] \{ \frac53 \pi + x \ge \frac{\pi}{6} \pi \\ \frac53 \pi +x \le \frac23 \pi [/math]

Pertanto, le limitazioni imposte dal problema, porranno che l'angolo espresso dall'argomento sia compreso tra pigreco/6 e 2/3 pigreco.

Dobbiamo ora vedere che valori assume il seno tra questi due angoli:

Disegna sulla circonferenza goniometrica gli angoli trovati.

Segna la porzione di circonferenza interessata da queste limitazioni.
(per intenderci e' la porzione di circonferenza in alto, diciamo tra le ore 2 e le ore 11 dell'orologio.

Come vedi i valori del seno compresi tra questi due angoli sono (chiamo A l'angolo)

[math] \frac12 \le \sin A \le 1 [/math]

Ma per i valori di seno compresi tra radice3/2 e 1 gli angoli corrispondenti sono due (uno a "sinistra" ovvero nel II quadrante e uno a destra (ovvero nel primo) mentre tra 1/2 e radice3/2 uno solo (I quadrante)

Pertanto avrai due soluzioni quando il seno dell'angolo A e' compreso tra radice3/2 e 1

Il seno dell'angolo che abbiamo studiato (ovvero 5/3pigreco + x ) abbiamo detto che e' uguale a

[math] \frac{1}{k-1} [/math]

Allora avremo due soluzioni, per quanto appena detto, per

[math] \frac{\sqrt3}{2} \le \frac{1}{k-1} \le 1[/math]

Una soluzione per

[math] \frac12\le \frac{1}{k-1} < \frac{\sqrt3}{2} [/math]

Quindi: due soluzioni

[math] \{ \frac{\sqrt3}{2} \le \frac{1}{k-1} \\ \frac{1}{k-1} \le 1[/math]

ovvero

[math] \{ \frac{\sqrt3k-\sqrt3-2}{2(k-1)} \le 0 \\ \frac{1-k+1}{k-1} \le 0 [/math]

E dunque la prima disequazione del sistema, avra':

[math] N \ge 0 \to k> \frac{\sqrt3+2}{\sqrt3} [/math]

D>0

[math] k>1 [/math]

E quindi soluzione finale della disequazione

[math] 1 < k \le \frac{\sqrt3+2}{\sqrt3} [/math]

Seconda disequazione:

[math] N \ge 0 \to k \le 2 [/math]

[mat] D>0 \to k>1 [/math]

E quindi soluzione della disequazione

[math] k < 1 \cup k \ge 2 [/math]

Pertanto soluzione del sistema

[math] 2 \le k \le \frac{\sqrt3+2}{\sqrt3} [/math]

Risolvi il secondo sistema e trovi per quali valori di k hai una soluzione

[math]\{k \ge -2