Esercizi matematica (25871)

[server90]

Calcolare le lunghezze degli archi delle seguenti curve nell'intervallo asseganto:

[math] y = \sqrt{x^3} \qquad 0 \le \ x \le \ 4[/math]

[math] y = 1 - ln cosx \qquad 0 \le\ x \le\ \frac{\pi}{4}[/math]

P.S. Ho iniziato a farlo e ho calcolato la derivata prima; poi applico la formula

[math]l = \int_{0}^{4} \sqrt{1+\left(\frac{1}{2(\sqrt{x^3}(3x^2)}\right)^2}\, dx [/math]

ma non riesco a risolvere.
Grazie

[issima90]

servono gli integrali?

[server90]

si, gli esercizi riguardono proprio questa formula con l'integrale

[issima90]

ah allora nn li ho ancora fatti..arriverà qualcun altro..mi spiace!

[the.track]

[math]\int_{0}^{4} \sqrt{1+\left(\frac{1}{2(\sqrt{x^3}(3x^2)}\right)^2}\, dx [/math]

Portiamo a esponente quella radice ottenendo:

[math]\int_{0}^{4} \left( 1+\left(\frac{1}{2(\sqrt{x^3}(3x^2)}\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}}\;dx[/math]

Svolgiamo il quadrato ottenendo:

[math]\int_{0}^{4} \left( 1+ \frac{1}{36x^7} \right)^{\frac{1}{2}}\; dx[/math]

Portiamo a numeratore:

[math]\int_{0}^{4} \left( 1+\frac{x^{-7}}{36} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]

Denominatore comune e portiamo fuori il 36:

[math]\int_{0}^{4} \left( \frac{36+x^{-7}}{36} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]

[math]\frac{1}{6} \int_{0}^{4} \left( 36+x^{-7} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]

A questo punto anche se ti pare strano portiamo a denominatore

[math]x^7[/math]

facciamo denominatore comune e portiamo fuori un

[math]x^3[/math]

:

[math]\frac{1}{6} \int_{0}^{4} \frac{1}{x^3} \left( (36x^7+1)x^{-1} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]

Moltiplichiamo:

[math]\frac{1}{6} \int_{0}^{4} \frac{1}{x^3} \left( (36x^6+x^{-1} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]

Dopodiché procederei per parti.

Adesso modifico ancora.

[server90]

Ma la derivata è al quadrato: infatti la formula per calcolare la lungezza dell'arco di curva è

[math]L= \int_{a}^{b} \sqrt{1+f'^2(x)}\, dx [/math]

[the.track]

Scusa ho le traveggole. Ok. Dammi un attimo di tempo che ti risolvo l'integrale. e scusa per quanto ti h detto prima.

[server90]

ok

[the.track]

Io non avevo appurato la correttezza della derivata.
Abbiamo:

[math]f(x)=\sqrt{x^3}[/math]

Possiamo scrivere:

[math]f(x)=x^{\frac{3}{2}}[/math]

Da cui abbiamo:

[math]f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}[/math]

[math]y'=\frac{3}{2}\sqrt{x}[/math]

Capirai ora che è più facile calcolare l'integrale definito. Dimmi se non capisci qualcosa.

———————————

Impostiamo la formula:

[math]\int_{0}^{4} \sqrt{ 1+\left( \frac{3}{2}\sqrt{x} \right)^2 }[/math]

Eseguendo il quadrato otteniamo:

[math]\int_{0}^{4} \sqrt{ 1+ \frac{9}{4}x }[/math]

Denominatore comune:

[math]\int_{0}^{4} \sqrt{ \frac{4+9x}{4} }[/math]

Portiamo fuori il 4:

[math] \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{ 4+9x }[/math]

Poniamo la radice ad esponente:

[math] \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \left( 4+9x \right)^{\frac{1}{2} } }[/math]

Moltiplichiamo dentro l'integrale per

[math]9[/math]

e per

[math]\frac{1}{9}[/math]

e portiamo fuori dall'integrale

[math]\frac{1}{9}[/math]

ottenendo così:

[math]\frac{1}{2*9} \int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right)^{\frac{1}{2} [/math]

Risolviamo l'integrale e abbiamo:

[math]\frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3} \left( 4+9x \right) ^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}[/math]

[server90]

the.track:
Moltiplichiamo dentro l'integrale per

[math]9[/math]

e per

[math]\frac{1}{9}[/math]

e portiamo fuori dall'integrale

[math]\frac{1}{9}[/math]

ottenendo così:

[math]\frac{1}{2*9} \int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right)^{\frac{1}{2} [/math]

Risolviamo l'integrale e abbiamo:

[math]\frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3} \left( 4+9x \right) ^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}[/math]

Non ho capito bene questi ultimi due passaggi

[the.track]

[math]D\left[ f(x) \right]^n[/math]

Sappiamo che la derivata di questo tipo di funzione è:

[math]n\left[ f(x) \right] ^{n-1}*f'(x)[/math]

Sappiamo che l'integrale è l'operatore che calcola la primitiva. Puoi notare che noi di quel tipo di derivata abbiamo solamente questa parte:

[math]n\left[ f(x) \right] ^{n-1}[/math]

Dove

[math](4+9x)[/math]

è la nostra

[math]f(x)[/math]

. Vediamo che manca

[math]f'(x)[/math]

; ma

[math]f'(x)=9[/math]

. A questo punto noi dobbiamo avere dentro l'integrale un

[math]9[/math]

. Per averlo moltiplichiamo per

[math]1=\frac{1}{9}*9[/math]

e siccome possiamo considerare

[math]\frac{1}{9}[/math]

come costante, possiamo portarlo fuori dell'integrale ottenendo così:

[math]\int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right) ^{\frac{1}{2}}[/math]

ok? Se non hai capito dimmelo che cerco di essere più chiaro. :)

[server90]

Si fino a qui ho capito. Ma poi perchè risolvendo l'integrale

[math]\int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right) ^{\frac{1}{2}}[/math]

esce:

[math] \left[ \frac{2}{3} \left( 4+9x \right) ^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}[/math]

[the.track]

Usa la formula.

[math]\int \left[ f(x) \right]^n * f'(x)\;dx\; = \; \frac{1}{n+1}* \left[ f(x) \right]^{n+1}[/math]

Se non è questo che chiedevi dimmelo, che cercherò di essere più esauriente.

[server90]

Si, era questo che volevo sapere. Grazie mille e scusa per le troppe domande :lol

[the.track]

Figurati. Se ti rispondo è perché lo faccio volentieri.

Ti serve anche l'altra funzione??

[server90]

si, se puoi farlo è meglio.

[the.track]

Calcoliamo la derivata prima:

[math]f(x)=1-ln cos(x)[/math]

[math]f'(x)=-\frac{1}{cos(x)}*sin(x)[/math]

Impostiamo la formula:

[math]L=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+ \left( -\frac{1}{cos(x)} * sin(x) \right)^2}[/math]

Svolgiamo il quadrato:

[math]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+ \frac{1}{cos^2(x)} * sin^2(x) }[/math]

Denominatore comune:

[math]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)} }[/math]

Portiamo fuori in denominatore e utilizziamo l'uguaglianza fondamentale

[math]cos^2(x)+sin^2(x)=1[/math]

:

[math]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{1}{cos^2(x)} }[/math]

[math]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{cos(x)}[/math]

Moltiplichiamo per

[math]1=\frac{sin(x)}{sin(x)}[/math]

e otteniamo:

[math]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{sin(x)}{cos(x)}*\frac{1}{sin(x)}[/math]

Moltiplichiamo per

[math]1=(-1)*(-1)[/math]

[math]-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-sin(x)}{cos(x)}*\frac{1}{sin(x)}[/math]

Ora procediamo per parti considerando che:

[math]\int f(x)*g'(x) \; dx \; = f(x)*g(x)-\int f'(x)*g(x)\;dx[/math]

Consideriamo:

[math]g'(x)=\frac{-sin(x)}{cos(x)}[/math]

e

[math]f(x)=\frac{1}{sin(x)}[/math]

Procediamo:

[math]\frac{1}{sin(x)}*ln(cos(x))- \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\frac{cos(x)}{sin^2(x)}*ln(cos(x)) \; dx[/math]

Prima mi sono accorto che non ho messo il dx. Fa finta che ci sia.

Ora proverei per sostituzione e si ottiene:

[math]cos(x)=t[/math]

[math]x=arcsin(t)[/math]

[math]dx=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}[/math]

(Concentriamoci sull'integrale)

[math]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{1-t^2}*ln(t)*\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \; dx[/math]

Adesso modifico ancora. Aggiorno ogni tanto per verificare il latex. :)

P.S.: Se hai idee migliori per risolvere l'integrale sono ben accette; non mi arrabbio se mi dai una mano. :)

[server90]

Sul mio libro di matematica c'è una tabella degli integrali di funzioni elementari e ho trovato che:

[math]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{cos(x)}= ln \left | tg\left ( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right ) \right | +c = ln|secx + tgx|+c [/math]

Va bene o bisogna comunque risolvero come stavi facendo?

[the.track]

Per me va benissimo. :D Dipende da cosa vuole la tua prof!! Anche perché io ho provato ad andare avanti e le cose si fanno anche abbastanza complicate. Se la prof ti lascia usare la formula io sono contento.

Quindi ora che l'integrale è risolto hai problemi anche con il calcolo dell'area??

P.S.1: Se vuoi andiamo avanti a calcolare l'integrale di

[math]\frac{1}{cos(x)}[/math]

P.s:2: In un integrale definito non devi mettere la c.

[server90]

No, per il calcolo dell'area non ho problemi. Per la formula penso che dovrebbe andare bene perchè ne abbiamo usate diverse anche in precedenza.
Grazie di tutto.

[the.track]

Prego!!
Allora chiudo. Se dovessi avere problemi con altri esercizi apri un altro thread. ;)
:hi