Esercizi: integrali per sostituzione

[kioccolatino90]

ciao a tutti, ho l'integrale $int x(x+1)sqrt(e^(2x^3+3x^2+6))dx$; mi sembra davvero difficile non so che sostituzione fare!!! a primo impatto credo che la sostituzione da fare e porre $t=sqrt(e^(2x^3+3x^2+6))$ però poi mi serve sapere la $x$ a che cosa sia uguale e quindi faccio:

$t=sqrt(e^(2x^3+3x^2+6))$ $rarr$ $t^2=e^(2x^3+3x^2+6) $ $ rarr$ $ln t^2=(2x^3+3x^2+6)$ e poi non capisco più cosa fare cercavo di scomporre il trinomio di terzo grado ma non ci sono riuscito... Come si risolve?

[Gi81]

E' più semplice di quello che pensi: $sqrt(e^A)= e^(A/2)$
Quindi $sqrt(e^(2x^3+3x^2+6))= e^(x^3+3/2 x^2 +3)$

E qual è la derivata di $ e^(x^3+3/2 x^2 +3)$? E' $(3x^2+3x)*( e^(x^3+3/2 x^2 +3))$, o meglio
$3x(x+1)( e^(x^3+3/2 x^2 +3))$

[kioccolatino90]

quindi nn c'è bisogno di nessuna sostituzione?! sono quegli esercizi a trabocchetto che servono per farti ragionare... capisco...

e questo integrale $int(xe^x)/(e^x+1)^2 dx$ ??? sembrerebbe lo stesso, però ho controllato se il numeratore è la derivata del denominatore e purtroppo non lo è, con la sostituzione mi sono trovato nella situazione che:

$t=e^x$ $rarr$ $ln t = x$ $rarr$ $dx= 1/t dt$ e dunque $int (t lnt)/(t+1)^2*1/t dt =$ $int (lnt)/(t+1)^2 dt $; però non ho risolto nulla.... come posso fare???

[Gi81]

"domy90":... $int (lnt)/(t+1)^2 dt $...

Prova a procedere per parti:

$- ln(t)/(t+1) +int (dt)/(t*(t+1)) = - ln(t)/(t+1)+ int [1/t - 1/(t+1) ]dt = - ln(t)/(t+1) +ln(t) -ln(t+1) +c = $
$= ln(t) [1-1/(t+1)] -ln(t+1)+c= (t*ln(t))/(t+1) -ln(t+1)+c$


Quindi, siccome $t=e^x$, si ha $(x*e^x)/(e^x+1) -ln(e^x+1) +c$

[kioccolatino90]

scusami mi diresti che fattore finito e differenziale hai usato??? perchè non mi trovo...

[Gi81]

Allora, la regola generale è $int f(t)*g(t) dt = F(t)*g(t) - int F(t)*g'(t) dt $ (ovviamente $F$ è una primitiva di $f$)

Nel nostro caso $f(t)= 1/((t+1)^2)$ e $g(t) =ln(t)$, dunque $F(t)=-1/(t+1)$ e $g'(t)= 1/t$

[kioccolatino90]

giusto, io mi confondevo con la primitiva di $F(t)$...
ho un altro integrale abbastanza complicato che non riesco a risolvere... l'integrale è $int (x^5)/(cos^2(x^3)) dx$;

pongo $x^3= t$ e di conseguenza $x=root(3)(t)$ $rArr$ $dx= 1/(3root(3)(t))dt$ e riscrivo come:

$int ((root(3)(t))^5)/(cos^2t)* 1/(3root(3)(t))dt=$ $int ((root(3)(t))^4)/(cos^2t)* 1/3dt=$ $1/3int (troot(3)(t))/(cos^2t)dt$;

e a questo punto non so come continuare, devo risolvere di nuovo per parti??? però è strano perchè non dovrei farlo perchè gli esercizi sono nella sezione "integrali per sostituzione"...

[Gi81]

Guarda che la derivata di $root3 (t) $ non è $1/(3 root3(t))$.
Viene invece $1/(3 root3(t^2))$.

Quindi il tuo integrale diventa $1/3 int t/(cos^2(t)) dt$
Per procedere non vedo altra strada se non integrazione per parti. Capisco che l'esercizio sia nella sezione "integrali per sostituzione", ma non è che gli esercizi devono essere solamente su un argomento. Magari il capitolo "integrazione per parti" è precedente a quello sulla sostituzione, e quindi lo dà per acquisito.

[kioccolatino90]

ah già è vero che sbadato...

"Gi8": Magari il capitolo "integrazione per parti" è precedente a quello sulla sostituzione, e quindi lo dà per acquisito.

è proprio questo che mi fa pensare che il metodo di risolzione è per sostituzione, perchè il capitolo "integrazione per parti" è dopo a quello per sostituzione... però se è l'unica strada allora "la imbocco"
grazie dell'aiuto comunque!!!

[kioccolatino90]

Se non scoccio troppo, vorrei postare un altro esercizio, che non mi trovo in parte, l'esercizio è $int (16-x^2)sqrt(16-x^2)dx$ pongo la sostituzione $x=4sint rarr dx=4cost dt rArr x=arcsin(x/4)$ e dunque si ha dopo semplici calcoli che:

$256intcos^4t dt= 96t+64sin(2t)+8sin(4t)+C$


$96t+128sint cost+16sin(2t)cos(2t) +C$ essendo poi $cos(2t)=1-sin^2t$ si ha:

$96t+128sint cost+32sintcost-32sin^3tcost+C= $

$96t+160sint cost-32sin^3tcost+C$ ora ritornando alla variabile x si ha:

$96arcsin (x/4)+10x sqrt(16-x^2)-x^3/8 sqrt(16-x^2)+C =$ $96arcsin (x/4)+ sqrt(16-x^2)(10x-x^3/8)+C$ però il libro dice che il risultato è:

$96arcsin (x/4)+ sqrt(16-x^2)(10x-x^3/4)+C$ sembra stupido come errore ma non so se ho sbagliato qualcosa ho ricontrollato mille volte...

[Gi81]

L'errore l'hai commesso quando hai scritto la formula di duplicazione del coseno:
non è vero che $cos(2t)= 1-sin^2 (t)$, piuttosto $cos(2t)= 1-2sin^2(t)$

[kioccolatino90]

giusto ora si trova..... C'è un altro integrale che non mi trovo con il risultato... l'integrale è semplice:

$int 1/(sqrt(3x^2+2x+1))dx=$ $int 1/(sqrt(1/3(3x+1)^2+2/3))dx=$ $sqrt3int 1/(sqrt((3x+1)^2+2))dx$; quindi pongo $z=3x+1$ e si ha:

$sqrt3/3int 1/(sqrt(z^2+2))dz $; sostituisco $z=sqrt2sinht$ e si ha:

$sqrt3/3int (sqrt2cosht)/(sqrt(2sinh^2t+2))dt= sqrt3/3 t+C= sqrt3/3ln(z+sqrt(z^2+2))+C $ che ritornando a $x$ ho che:

$int 1/(sqrt(3x^2+2x+1))dx= sqrt3/3ln[(3x+1)+sqrt((3x+1)^2+2)]+C $ il libro però riporta un risultato assurdo:

$sqrt3/3ln[sqrt2/4(6x+2)+sqrt(3x+(9x^2)/2+3/2)]+C $ non capisco che cosa ha fatto, e soprattutto dove sto sbagliando, eppure l'integrale sembra abbastanza facile....

[giammaria2]

A meno di una costante additiva, i due risultati sono uguali. Infatti

$ln[(sqrt2)/4(6x+2)+sqrt(3x+(9x^2)/2+3/2)]=ln[(sqrt2)/2(3x+1)+sqrt((6x+9x^2+3)/2)]=$

$=ln[(3x+1)/(sqrt 2)+(sqrt(9x^2+6x+1+2))/(sqrt2)]=ln[(3x+1)+sqrt((3x+1)^2+2)]-ln(sqrt2)$

[kioccolatino90]

ah si giusto, ora ho capito... se non esagero, volevo chiedere un altro aiutino per un altro integrale, ci sto sopra da quasi due giorni.... l'integrale è $int (sqrt(x^2-36))/x^2$ all'inizio avevo pensato di risolverlo ponendo $z=sqrt(x^2-36)$ quindi veniva fuori la risoluzione del seguente integrale:

$int z^2/((z^2+36)sqrt(z^2+36))dz$, che ho risolto effettuando la sostituzione $z= 6sinht$ ottenendo(con qualche passaggio):


$int (cosh^3t-cosht)/(cosh^3t)dt= int dt-int 1/(cosh^2t)dt=$ $t-tg (t) +C$

tornando alla variabile $z$ si ha che l'integrale in $z$ è uguale a:

$ln(z+sqrt(36-z^2))-z/(sqrt(36-z^2))+C$ poi tornando a alla variabile $x$ si ha:

$ln(sqrt(x^2-36)+sqrt(72-x^2))-(sqrt(x^2-36))/(sqrt(72-x^2)) +C$ e non si trova!!! non capisco dove sto sbagliando a me sembra tutto esatto, forse ho sbagliato a fare la sostituzione, non ci capisco più niente, come posso fare????

[Gi81]

$z/6= sinh(t)=> t= arcsinh(z/6)= ln(z/6 +sqrt(z^2/36 +1))= $
$=ln( z/6 +1/6 sqrt(z^2+36) ) =ln[1/6 *(z+sqrt(z^2+36))]= ln(1/6) +ln(z+sqrt(z^2+36))$