Esercizi Giometria Analitica
Vorrei che qualcuno mi indicasse come fare i seguenti esercizi:
1) Trovare area triangolo con vertici (0;-6), (1/2;-2) e (4;-4)
2) Trovare area triangolo conoscendo equazioni lati: x+2y-3=0, 3x+y-2=0 e y=x
3) Dimostrare che (0;0), (-2;-1) e (-1;-3) sono vertici di un triangolo isoscele e che l'altezza relativa alla sua ipotenusa sia la stessa della metà dell'ipotenusa stessa.
4) Dati (1;1), (3;-2) e (5;0) trovare il quarto vertice del parallelogramma + il punto di incontro delle sue diagonali + perimetro + area.
5) Dati i punti (1;1), (4;0), (3;3), (0;4) corrispondenti ai vertici di un rombo, trovare il suo perimetro, la sua area e l'equazioni dei lati.
Grazie.
1) Trovare area triangolo con vertici (0;-6), (1/2;-2) e (4;-4)
2) Trovare area triangolo conoscendo equazioni lati: x+2y-3=0, 3x+y-2=0 e y=x
3) Dimostrare che (0;0), (-2;-1) e (-1;-3) sono vertici di un triangolo isoscele e che l'altezza relativa alla sua ipotenusa sia la stessa della metà dell'ipotenusa stessa.
4) Dati (1;1), (3;-2) e (5;0) trovare il quarto vertice del parallelogramma + il punto di incontro delle sue diagonali + perimetro + area.
5) Dati i punti (1;1), (4;0), (3;3), (0;4) corrispondenti ai vertici di un rombo, trovare il suo perimetro, la sua area e l'equazioni dei lati.
Grazie.
Risposte
Ecco a te "Jack":
1) Trovare area triangolo con vertici (0;-6), (1/2;-2) e (4;-4)
Per risolvere questo problema è sufficiente utilizzare la formula che permette di determinare la distanza tra due punti:
D= radice di [(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
Attraverso questa formula è infatti possibile determinare la lunghezza dei tre lati del triangolo:
AB = radice di [(xB-xA)^2 + (yB -yA)^2]
BC = radice di [(xC-xB)^2 + (yC -yB)^2]
AC = radice di [(xC-xA)^2 + (yC -yA)^2]
Noti i tre lati, è possibile ricavare l'area del triangolo grazie alla formula di Erone, la quale ci consente di determinare l'area di un triangolo conoscendone semiperimetro e lati:
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Erone
2) Trovare area triangolo conoscendo equazioni lati: x+2y-3=0, 3x+y-2=0 e y=x
Occorre determinare dove la prima retta interseca la seconda e la terza, e dove la seconda interseca la terza. Questo è possibile mettendo a sistema a due a due le equazioni.
In questo modo si determinano 3 punti: i vertici del triangolo.
Vediamo come:
PRIMA E SECONDA EQUAZIONE
x+2y-3=0 (quindi x = 3 -2y )
3x+y-2=0
Sostituisco la prima nella seconda:
3(3 -2y) + y -2 =0
9 -6y +y -2 = 0
-5y = -7
y = 7/5
Inserisco il risultato della y in una delle due equazioni di partenza indistintamente. Ad esempio la seconda:
3x +7/5 -2 = 0
3x +7/5 - 10/5 = 0
3x -3/5 = 0
x = 3/5 x 1/3 = 1/5
Il primo punto è dunque A (1/5, 7/5).
Procedi in questo modo anche con la prima e la terza retta (trovando il punto B) e con la seconda e la terza (trovando il punto C).
Dopo di che il procedimento è uguale a quello dell'esercizio precedente.
3) Dimostrare che (0;0), (-2;-1) e (-1;-3) sono vertici di un triangolo isoscele e che l'altezza relativa alla sua ipotenusa sia la stessa della metà dell'ipotenusa stessa.
Anche in questo caso, per risolvere questo problema è sufficiente utilizzare la formula che permette di determinare la distanza tra due punti:
D= radice di [(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
AB = radice di [(xB-xA)^2 + (yB -yA)^2]= radice di [(-2-0)^2 + (-1 -0)^2]= radice di (4 + 1)= √5
BC = radice di [(xC-xB)^2 + (yC -yB)^2] = radice di [(-1+2)^2 + (-3 +1)^2]= radice di (1 + 4)= √5
AC = radice di [(xC-xA)^2 + (yC -yA)^2] = radice di [(-1-0)^2 + (-3 -0)^2]= radice di (1 + 9)= √10
Come si vede i lati Ab e BC hanno la stessa misura, dunque si tratta di un triangolo isoscele.
La successiva dimostrazione è presto fatta: grazie alla formula di Erone si determina l'area del triangolo.
Quest'area calcolata, è pari al prodotto di qualunque lato del triangolo per l'latezza ad esso relativa diviso due.
Quindi, nota l'ipotenusa del triangolo (AC) e nota l'area, posso concludere che:
A = AC x h(AC)/2
h(AC)= A x 2/AC
4) Dati (1;1), (3;-2) e (5;0) trovare il quarto vertice del parallelogramma + il punto di incontro delle sue diagonali + perimetro + area.
Nel parallelogramma i lati sono a due a due uguali e paralleli.
Questo vuol dire che:
1) il quarto punto (D) dovrà distare -in ascissa- tanto quanto il punto B dista dal punto C, cioè...
Xc - Xb = 5-3 = 2 unità
Xd = XA + 2 = 1 + 2 = 3
2) il quarto punto (D) dovrà trovarsi -in ordinata- più in alto rispetto al punto A tanto quanto C è più in lato del punto B
Yc - Yb = 0+2 = 2 unità
Yd = YA + 2 = 1 + 2 = 3
Il punto D ha quindi coordinate D (3,3)
E' possibiel effettuare una ulteriore verifica calcolando BC e AD e verificando che abbiano la stessa misura.
Una delle diagonali sarà poi una retta passante per i punto B e D.
L'altra passerà per A e C.
Troviamo le due rette conoscendo le coordinate di due punti che ad esse appartengono.
La generica equazione di una retta è infatti:
y = mx + n
Sostituendo a questa equazione le coordinate dei punti B e D, si troveranno m ed n e quindi la prima diagonale.
Sostituendo invece le coordinate dei punti A e C, si troveranno m' ed n' e quindi la prima diagonale.
Mettendo a sistema le due rette se ne troverà il putno di'incontro.
Il perimetro si calcola determinando AB. BC, CD e AD con al formula appena vista della distanaza tra due punti.
Più complessa è invece l'area.
Prendiamo il segmento AB come base. E' sufficiente determinare l'altezza relativa a questo lato e l'area è determinata:
A = AB x h(AB)Traccio dunque dal punto D un segmento perpendicolare Ad AB, che incontra questo lato nel punto H.
H è il punto d'incontro tra la retta passante per AB e la retta perpendicolare ad AB che passa per D.
Trovo dunque la retta passante per A e per B con il metodo indicato sopra.
Poi una retta ad essa perpendicolare (cioè tale che i coefficienti angolari delle due rette siano m x m' = -1) passante per il punto D.
determinate le due rette, le metto a sistema, ottenendo il putno H.
la distanaza tra H e D mi dà h(AB).
5) Dati i punti (1;1), (4;0), (3;3), (0;4) corrispondenti ai vertici di un rombo, trovare il suo perimetro, la sua area e l'equazioni dei lati.
I procedimenti sono tutti simili a quelli già illustrati.
Grazie alle distanze tra i quattro punti, è facile determinare i lati del rombo, e quindi il perimetro.
La distanaza tra i vertici opposti determina invece la misura delle diagonali, dalle quali si determina l'area del poligono.
le equazioni dei quattro lati sono le equazioni di quattro rette: la prima passa per A e B , la seconda per B e per C...e così via.
Il procedimento è identico a quello già illustrato precedentemente.
Questo è tutto. Spero di essere stata chiara e soprattutto utile.
Se hai bisogno di ulteriori spiegazioni, fammelo sapere, mi raccomando! Ciao!!!
1) Trovare area triangolo con vertici (0;-6), (1/2;-2) e (4;-4)
Per risolvere questo problema è sufficiente utilizzare la formula che permette di determinare la distanza tra due punti:
D= radice di [(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
Attraverso questa formula è infatti possibile determinare la lunghezza dei tre lati del triangolo:
AB = radice di [(xB-xA)^2 + (yB -yA)^2]
BC = radice di [(xC-xB)^2 + (yC -yB)^2]
AC = radice di [(xC-xA)^2 + (yC -yA)^2]
Noti i tre lati, è possibile ricavare l'area del triangolo grazie alla formula di Erone, la quale ci consente di determinare l'area di un triangolo conoscendone semiperimetro e lati:
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Erone
2) Trovare area triangolo conoscendo equazioni lati: x+2y-3=0, 3x+y-2=0 e y=x
Occorre determinare dove la prima retta interseca la seconda e la terza, e dove la seconda interseca la terza. Questo è possibile mettendo a sistema a due a due le equazioni.
In questo modo si determinano 3 punti: i vertici del triangolo.
Vediamo come:
PRIMA E SECONDA EQUAZIONE
x+2y-3=0 (quindi x = 3 -2y )
3x+y-2=0
Sostituisco la prima nella seconda:
3(3 -2y) + y -2 =0
9 -6y +y -2 = 0
-5y = -7
y = 7/5
Inserisco il risultato della y in una delle due equazioni di partenza indistintamente. Ad esempio la seconda:
3x +7/5 -2 = 0
3x +7/5 - 10/5 = 0
3x -3/5 = 0
x = 3/5 x 1/3 = 1/5
Il primo punto è dunque A (1/5, 7/5).
Procedi in questo modo anche con la prima e la terza retta (trovando il punto B) e con la seconda e la terza (trovando il punto C).
Dopo di che il procedimento è uguale a quello dell'esercizio precedente.
3) Dimostrare che (0;0), (-2;-1) e (-1;-3) sono vertici di un triangolo isoscele e che l'altezza relativa alla sua ipotenusa sia la stessa della metà dell'ipotenusa stessa.
Anche in questo caso, per risolvere questo problema è sufficiente utilizzare la formula che permette di determinare la distanza tra due punti:
D= radice di [(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
AB = radice di [(xB-xA)^2 + (yB -yA)^2]= radice di [(-2-0)^2 + (-1 -0)^2]= radice di (4 + 1)= √5
BC = radice di [(xC-xB)^2 + (yC -yB)^2] = radice di [(-1+2)^2 + (-3 +1)^2]= radice di (1 + 4)= √5
AC = radice di [(xC-xA)^2 + (yC -yA)^2] = radice di [(-1-0)^2 + (-3 -0)^2]= radice di (1 + 9)= √10
Come si vede i lati Ab e BC hanno la stessa misura, dunque si tratta di un triangolo isoscele.
La successiva dimostrazione è presto fatta: grazie alla formula di Erone si determina l'area del triangolo.
Quest'area calcolata, è pari al prodotto di qualunque lato del triangolo per l'latezza ad esso relativa diviso due.
Quindi, nota l'ipotenusa del triangolo (AC) e nota l'area, posso concludere che:
A = AC x h(AC)/2
h(AC)= A x 2/AC
4) Dati (1;1), (3;-2) e (5;0) trovare il quarto vertice del parallelogramma + il punto di incontro delle sue diagonali + perimetro + area.
Nel parallelogramma i lati sono a due a due uguali e paralleli.
Questo vuol dire che:
1) il quarto punto (D) dovrà distare -in ascissa- tanto quanto il punto B dista dal punto C, cioè...
Xc - Xb = 5-3 = 2 unità
Xd = XA + 2 = 1 + 2 = 3
2) il quarto punto (D) dovrà trovarsi -in ordinata- più in alto rispetto al punto A tanto quanto C è più in lato del punto B
Yc - Yb = 0+2 = 2 unità
Yd = YA + 2 = 1 + 2 = 3
Il punto D ha quindi coordinate D (3,3)
E' possibiel effettuare una ulteriore verifica calcolando BC e AD e verificando che abbiano la stessa misura.
Una delle diagonali sarà poi una retta passante per i punto B e D.
L'altra passerà per A e C.
Troviamo le due rette conoscendo le coordinate di due punti che ad esse appartengono.
La generica equazione di una retta è infatti:
y = mx + n
Sostituendo a questa equazione le coordinate dei punti B e D, si troveranno m ed n e quindi la prima diagonale.
Sostituendo invece le coordinate dei punti A e C, si troveranno m' ed n' e quindi la prima diagonale.
Mettendo a sistema le due rette se ne troverà il putno di'incontro.
Il perimetro si calcola determinando AB. BC, CD e AD con al formula appena vista della distanaza tra due punti.
Più complessa è invece l'area.
Prendiamo il segmento AB come base. E' sufficiente determinare l'altezza relativa a questo lato e l'area è determinata:
A = AB x h(AB)Traccio dunque dal punto D un segmento perpendicolare Ad AB, che incontra questo lato nel punto H.
H è il punto d'incontro tra la retta passante per AB e la retta perpendicolare ad AB che passa per D.
Trovo dunque la retta passante per A e per B con il metodo indicato sopra.
Poi una retta ad essa perpendicolare (cioè tale che i coefficienti angolari delle due rette siano m x m' = -1) passante per il punto D.
determinate le due rette, le metto a sistema, ottenendo il putno H.
la distanaza tra H e D mi dà h(AB).
5) Dati i punti (1;1), (4;0), (3;3), (0;4) corrispondenti ai vertici di un rombo, trovare il suo perimetro, la sua area e l'equazioni dei lati.
I procedimenti sono tutti simili a quelli già illustrati.
Grazie alle distanze tra i quattro punti, è facile determinare i lati del rombo, e quindi il perimetro.
La distanaza tra i vertici opposti determina invece la misura delle diagonali, dalle quali si determina l'area del poligono.
le equazioni dei quattro lati sono le equazioni di quattro rette: la prima passa per A e B , la seconda per B e per C...e così via.
Il procedimento è identico a quello già illustrato precedentemente.
Questo è tutto. Spero di essere stata chiara e soprattutto utile.
Se hai bisogno di ulteriori spiegazioni, fammelo sapere, mi raccomando! Ciao!!!
è assolutamente tutto chiarissimo, ci sono stato un pò però ora va davvero meglio
Grazie infinite, sei stata incredibile.
Grazie infinite, sei stata incredibile.
Di niente "Jack", è stato un piacere! Se hai dubbi su qualche punto, sono a tua disposizione!
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