Esercizi di matematica che non ho ben chiari

[Zella92]

Salve ragazzi!Ho bisogno del vostro aiuto.. degli esercizi non mi son ben chiari :
Data la funzione f(x) = (x^2+2)/(x^3+2)
a) trovare l' eq della parabol passante per l origine e avente asse di simmetria parallelo all'asse y sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k[f(x)] nel punto di ascissa -1 .
b) stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto x=-1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza.
c) determinare in quanti punti l curva k ha per tangente una retta parallela all'asse x.

Il testo dell esercizio non mi è molto chiaro .. nn capisco quale sia la curva k e soprattutto non so come muovermi ! sarò grata a chiunque mi aiuterà!

Aggiunto 7 ore 13 minuti più tardi:

si esattamente ma non so come procedere!

Aggiunto 19 ore 40 minuti più tardi:

Grazie mille sei stato molto chiaro e preciso!
stamattina ho provato con altri esercizi dello stesso genere ma mi sono bloccata ad uno in particolare! ti andrebbe di darmi una mano anche qua?? te e sarò infitamente grata!

Data la funzione f(x)=

[math]\begin{cases} f(0)=1 per x=0\\ f(x)=(1/2)x^2(3-2lnx)+1 per x>0
\end{cases} [/math]

dimostrare che le eq : f(x)=0 ha nel dominio [0,+infinito [ un'unica soluzione reale
disegnare la curva e si determini l'eq della retta tangente alla curva nel punto x=1

[ciampax]

Sono esercizi da svolgere con il calcolo delle derivate, suppongo. Fammi sapere così posso spiegarti come procedere.

Aggiunto 4 ore 12 minuti più tardi:

Allora, per prima cosa la curva di cui si fa riferimento nell'esercizio è semplicemente il grafico della funzione che ti viene data. Detto questo andiamo a vedere come svolgere:

a) cerchiamo una parabola di equazione

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

. Dobbiamo trovare delle condizioni per calcolare i tre coefficienti. Per prima cosa, sappiamo che la parabola incide la curva, quindi la interseca, nel punto di coordinate

[math](-1,3)[/math]

per calcolare l'ordinata, basta sostituire x=-1 in

[math]f(x)[/math]

). La parabola passa per tale punto, per cui si deve pure avere

[math]3=a-b+c[/math]

andando a sostituire le coordinate. Questa è la prima equazione.

Ora ragioniamo slla condizione di incidenza: le due curve incidono ortogonalmente. Che cosa vuol dire? Semplicemente questo significa che le loro tangenti, nel punto di ascissa x=-1, devono essere ortogonali. Ora, dalla geometria analitica, sappiamo che due rette sono ortogonali quando

[math]m m'=-1[/math]

dove

[math]m,\ m'[/math]

sono i loro coefficienti angolari. Ma per definizione di derivata, essa rappresenta proprio tali coefficienti angolari. Abbiamo allora

[math]f'(x)=\frac{2x(x^3+2)-(x^2+2)\cdot 3x^2}{(x^3+2)^2}=\frac{-x^4-3x^2+4x}{(x^3+2)^2}[/math]

[math]y'=2ax+b[/math]

e quindi

[math]m=f'(-1)=-8,\qquad m'=-2a+b[/math]

da cui

[math]-1=-8(-2a+b)\ \Rightarrow\ 16a-8b=-1[/math]

La condizione che la parabola passi per l'origine ci dice poi che

[math]c=0[/math]

. Ma allora risolvendo il sistema

[math]16a-8b=-1,\ a-b=3[/math]

si ha la soluzione

[math]a=-\frac{25}{8},\ b=-\frac{49}{8}[/math]

per cui la parabola risulta

[math]y=a=-\frac{25}{8} x^-\frac{49}{8}[/math]

b) Abbiamo già calcolato il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in x=-1. Per scrivere l'equazione della retta basta usare la formula seguente

[math]y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)[/math]

dove

[math](x_0,f(x_0))[/math]

è il punto di tangenza. In questo caso la retta è

[math]y-3=-8(x+1)\ \Rightarrow\ y=-8x-5[/math]

che messa a intersezione con la funzione data porta all'equazione in x

[math]-8x-5=\frac{x^2+2}{x^3+2}[/math]

o anche

[math](-8x-5)(x^3+2)=x^2+2[/math]

da cui

[math]-8x^4-16x-5x^3-10=x^2+2[/math]

e infine

[math]8x^4+5x^3+x^2+16x+12=0[/math]

Ora, sappiamo che x=-1 è soluzione di questa equazione: usando la regola di Ruffini si trova che

[math]8x^4+5x^3+x^2+16x+12=(x+1)(8x^3-3x^2+4x+12)[/math]

Per trovare le altre ulteriori intersezioni dobbiamo risolvere l'equazione

[math]8x^3-3x^2+4x+12=0[/math]

Sfortunatamente in questo caso Ruffini non ci è d'aiuto. Però possiamo usare l'analisi: chiamiamo

[math]g(x)=8x^3-3x^2+4x+12[/math]

. Ovviamente risolvere l'equazione significa trovare quando

[math]g(x)=0[/math]

cioè quando g passa per l'asse delle x. ora osserva che

[math]\lim_{x\to\pm\infty} g(x)=\pm\infty[/math]

e che

[math]g'(x)=24x^2-6x+4=2(12x^2-3x+2)>0[/math]

per ogni x (il discriminante è negativo). Questo ti dice che la funzione g è sempre crescente, e visto che passa da meno infinito a più infinito, essa interseca l'asse x una sola volta (teorema di esistenza degli zeri). Ciò vuol dire che l'equazione proposta ammette 1 sola soluzione che insieme alla soluzione x=-1 già nota dice che la tangente trovata interseca la curva una sola volta (oltre al punto di tangenza).

c) la curva ha una tangente parallela all'asse delle x quando tale tangente ha coefficinete angolare uguale a zero, e quindi quando

[math]f'(x)=0[/math]

(punti stazionari, ciò quelli che possono essere di massimo o di minimo). Avendo già calcolato questa derivata, basta porre

[math]-x^4-3x^2+4x=0\ \Rightarrow\ -x(x^3+3x-4)=0[/math]

Una soluzione è

[math]x=0[/math]

; inoltre visto che

[math](1)^3+3\cdot 1-4=0[/math]

un'altra soluzione è

[math]x=1[/math]

e usando di nuovo Ruffini si ha

[math]x^3+3x-4=(x-1)(x^2+x+4)[/math]

Poiché l'equazione

[math]x^2+x+4=0[/math]

non ammette soluzioni, i punti che soddisfano la richiesta sono i seguenti:

[math](0,1),\ (1,1)[/math]

(la seconda coordinata viene calcolata sostituendo x=0 o x=1 nell'espressione della funzione data.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

In questo caso, ti consiglio di svolgere proprio lo studio di funzione, disegnare il grafico e da esso dedurre ciò che ti serve. per calcolare la retta tangente nel punto

[math](x_0,f(x_0))[/math]

ti ricordo la formula

[math]y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)[/math]

Fammi sapere se ci sono problemi.