Esercizi di geometria (277171)
Salve, avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere 2 problemi di geometria:
1) In un triangolo ABC, rettangolo in A, i cateti AB e AC sono rispettivamente 30 cm e 16 cm. Preso sull'ipotenusa un punto D con BD = 12 cm, traccia la per- pendicolare all'ipotenusa stessa che incontra il cateto AB in E. Calcola area e perimetro del triangolo BED.
2) In una circonferenza di centro O e raggio 20 cm due diametri AB e CD sono tra loro perpendicolari. Una corda AE, di 32 cm, interseca il diametro CD in F. Determina le lunghezze dei segmenti CF e FD in cui è diviso il diametro CD.
Grazie!
1) In un triangolo ABC, rettangolo in A, i cateti AB e AC sono rispettivamente 30 cm e 16 cm. Preso sull'ipotenusa un punto D con BD = 12 cm, traccia la per- pendicolare all'ipotenusa stessa che incontra il cateto AB in E. Calcola area e perimetro del triangolo BED.
2) In una circonferenza di centro O e raggio 20 cm due diametri AB e CD sono tra loro perpendicolari. Una corda AE, di 32 cm, interseca il diametro CD in F. Determina le lunghezze dei segmenti CF e FD in cui è diviso il diametro CD.
Grazie!
Risposte
Ciao, ti faccio una domanda per cui ipotizzo come risposta un "sì".
La domanda è: hai fatto un po' di trigonometria?
Te lo dico perché senza trigonometria non ne risolvi neanche uno secondo me - ma ovviamente sarei felice di essere smentito da altri utenti o da me stesso in condizioni migliori (ora sono a fine giornata lavorativa).
Per il problema 1, infatti, sapendo le misure dei lati puoi calcolare seni e coseni degli angoli tra i cateti e l'ipotenusa. Te lo dico anche perché l'angolo ABC resta lo stesso per il triangolo BED (anche se l'angolo lo chiameresti EBD in quel caso).
Infatti il triangolo BED è rettangolo in BDE (il segmento che tracci è perpendicolare all'ipotenusa) e conosci solo il lato BD e l'angolo EBD (che, come detto, è il triangolo ABC di partenza).
Per il problema 2, il triangolo AEB è rettangolo perché è inscritto alla circonferenza e ha come lato lungo il diametro (te la ricordi questa proprietà? :pp )
Sai che AE è lungo 32 cm, AB è lungo 40 in quanto due volte il raggio e BE lo calcoli con Pitagora. Ma a prescindere da BE, quello che mi interessa è il seno e il coseno dell'angolo EAB che lo trovi usando la trigonometria come nel primo esercizio.
A questo punto, consideri il triangolo AOF (O è il centro) che è rettangolo nell'omonimo angolo AOF in quando i due diagonali sono perpendicolari per costruzione. Hai AO lungo 20 (il raggio), l'angolo FAO (che è EAB) e calcoli il resto, ovvero FO...
Buona serata!
La domanda è: hai fatto un po' di trigonometria?
Te lo dico perché senza trigonometria non ne risolvi neanche uno secondo me - ma ovviamente sarei felice di essere smentito da altri utenti o da me stesso in condizioni migliori (ora sono a fine giornata lavorativa).
Per il problema 1, infatti, sapendo le misure dei lati puoi calcolare seni e coseni degli angoli tra i cateti e l'ipotenusa. Te lo dico anche perché l'angolo ABC resta lo stesso per il triangolo BED (anche se l'angolo lo chiameresti EBD in quel caso).
Infatti il triangolo BED è rettangolo in BDE (il segmento che tracci è perpendicolare all'ipotenusa) e conosci solo il lato BD e l'angolo EBD (che, come detto, è il triangolo ABC di partenza).
Per il problema 2, il triangolo AEB è rettangolo perché è inscritto alla circonferenza e ha come lato lungo il diametro (te la ricordi questa proprietà? :pp )
Sai che AE è lungo 32 cm, AB è lungo 40 in quanto due volte il raggio e BE lo calcoli con Pitagora. Ma a prescindere da BE, quello che mi interessa è il seno e il coseno dell'angolo EAB che lo trovi usando la trigonometria come nel primo esercizio.
A questo punto, consideri il triangolo AOF (O è il centro) che è rettangolo nell'omonimo angolo AOF in quando i due diagonali sono perpendicolari per costruzione. Hai AO lungo 20 (il raggio), l'angolo FAO (che è EAB) e calcoli il resto, ovvero FO...
Buona serata!
Purtroppo no, non ho ancora fatto nulla di trigonometria
Ottimo - si fa per dire. :pp
Comunque sono in pausa pranzo e, a mente più fresca, per il primo problema ho una soluzione che esula dalla trigonometria.
Te ne condivido l'idea di base per poi lasciarti collegare i passaggi e ragionare.
Il primo passo è trovare BC e lo fai in modo semplice con Pitagora.
Il secondo passo è tracciare l'altezza AH relativa all'ipotenusa e calcolarla e puoi farlo sfruttando il fatto che l'area del triangolo rettangolo la calcoli in due modi diversi
in altre parole da quella relazione ricavi AH.
A questo punto puoi osservare che DE e AH sono parallele per costruzione e che quindi BH e BA sono due segmenti che intersecano un fascio di rette parallele e quindi puoi applicare il teorema di Talete sfruttando le proporzionalità che si vengono a creare
BE : BD = EA : DH = AB : BH
(cito anche wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete#Triangoli_simili )
Una volta trovato BE conosci BE e BD e non sarà difficile trovare ED visto che EBD è un triangolo rettangolo.
Comunque sono in pausa pranzo e, a mente più fresca, per il primo problema ho una soluzione che esula dalla trigonometria.
Te ne condivido l'idea di base per poi lasciarti collegare i passaggi e ragionare.
Il primo passo è trovare BC e lo fai in modo semplice con Pitagora.
Il secondo passo è tracciare l'altezza AH relativa all'ipotenusa e calcolarla e puoi farlo sfruttando il fatto che l'area del triangolo rettangolo la calcoli in due modi diversi
[math] A = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{BC \cdot AH}{2} [/math]
in altre parole da quella relazione ricavi AH.
A questo punto puoi osservare che DE e AH sono parallele per costruzione e che quindi BH e BA sono due segmenti che intersecano un fascio di rette parallele e quindi puoi applicare il teorema di Talete sfruttando le proporzionalità che si vengono a creare
BE : BD = EA : DH = AB : BH
(cito anche wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete#Triangoli_simili )
Una volta trovato BE conosci BE e BD e non sarà difficile trovare ED visto che EBD è un triangolo rettangolo.
Ottima soluzione, però non riesco a risolvere in BE. Riusciresti a darmi una mano dalle proporzioni alla formula di BE? Grazie e se riesci ad aiutarmi anche con il secondo te ne sarei grato!
Puoi provare con questa
BE : BD = EA : DH = AB : BH
nella fattispecie
BE : BD = AB : BH
in cui non conosci solo BE. Se mi dici che non conosci neanche BH, posso risponderti che, una volta trovato AH, conoscendo AB in partenza, trovi BH con Pitagora pensando che il triangolo AHB è rettangolo in H.
Per il secondo mi attrezzo, ho appena finito di lavorare ( :lol ), inizio a pensare a una soluzione senza trigonometria.
Però a occhio ho idea che non sia molto differente. Pensa, per es., al fatto che un triangolo inscritto in una circonferenza che ha come lato il diametro è rettangolo (in questo caso, se non ricordo male il disegno, AEB è rettangolo).
BE : BD = EA : DH = AB : BH
nella fattispecie
BE : BD = AB : BH
in cui non conosci solo BE. Se mi dici che non conosci neanche BH, posso risponderti che, una volta trovato AH, conoscendo AB in partenza, trovi BH con Pitagora pensando che il triangolo AHB è rettangolo in H.
Per il secondo mi attrezzo, ho appena finito di lavorare ( :lol ), inizio a pensare a una soluzione senza trigonometria.
Però a occhio ho idea che non sia molto differente. Pensa, per es., al fatto che un triangolo inscritto in una circonferenza che ha come lato il diametro è rettangolo (in questo caso, se non ricordo male il disegno, AEB è rettangolo).
Grazie mille per il primo problema! Nel secondo come mi hai suggerito posso ricavare EB però poi non so più che fare :cry
Sai una cosa?
Ora che sono in pausa pranzo ho fatto il disegno del problema e credo che la soluzione segua lo stesso principio dell'altra.
Se hai calcolato EB, puoi calcolare EH che è l'altezza relativa all'ipotenusa come nell'esercizio precedente. A quel punto, considerando il triangolo AHE puoi pensare, proprio come prima, i lati AE e AH come linee che tagliano le parallele FO e EH. Imposti la stessa proporzione e, dopo aver trovato AO trovi FO (essendo AFO triangolo rettangolo).
Che ne dici? 8)
Ora che sono in pausa pranzo ho fatto il disegno del problema e credo che la soluzione segua lo stesso principio dell'altra.
Se hai calcolato EB, puoi calcolare EH che è l'altezza relativa all'ipotenusa come nell'esercizio precedente. A quel punto, considerando il triangolo AHE puoi pensare, proprio come prima, i lati AE e AH come linee che tagliano le parallele FO e EH. Imposti la stessa proporzione e, dopo aver trovato AO trovi FO (essendo AFO triangolo rettangolo).
Che ne dici? 8)
Direi geniale! Veramente grazie :satisfied
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