Esercizi con le funzioni
Ciao a tutti! Sono ritornato con qualche dubbio riguardo al nuovo argomento: le funzioni!
Allora il primo esercizio mi chiede : Dimostra che la funzione $f(x)=-sqrt(1+x)$ è una funzione biunivoca verificando che è decrescente e risolvi la disequazione: $f(4x)-x>=f(0)$
Ho cominciato col dimostrare che la funzione è iniettiva:
Dati $x_1,x_2 => f(x_1)=f(x_2)$ se $-sqrt(1+x_1)=-sqrt(1+x_2)$
Per cui $x_1=x_2$ La funzione è Iniettiva.
Ora cerco di dimostrare se la funzione è suriettiva, isolando la $x$:
$y=-sqrt(1+x)$ E' impossibile in quanto,ponendo la radice positiva ( quindi y diventa negativo), una radice non può mai essere uguale a un numero negativo. Per cui, secondo quello che ho dimostrato io, la funzione non è biunivoca. Il resto dell'esercizio non l'ho concluso perché avevo un dubbio riguardo alla suriettività della funzione.
Allora il primo esercizio mi chiede : Dimostra che la funzione $f(x)=-sqrt(1+x)$ è una funzione biunivoca verificando che è decrescente e risolvi la disequazione: $f(4x)-x>=f(0)$
Ho cominciato col dimostrare che la funzione è iniettiva:
Dati $x_1,x_2 => f(x_1)=f(x_2)$ se $-sqrt(1+x_1)=-sqrt(1+x_2)$
Per cui $x_1=x_2$ La funzione è Iniettiva.
Ora cerco di dimostrare se la funzione è suriettiva, isolando la $x$:
$y=-sqrt(1+x)$ E' impossibile in quanto,ponendo la radice positiva ( quindi y diventa negativo), una radice non può mai essere uguale a un numero negativo. Per cui, secondo quello che ho dimostrato io, la funzione non è biunivoca. Il resto dell'esercizio non l'ho concluso perché avevo un dubbio riguardo alla suriettività della funzione.
Risposte
Beh, non è suriettiva se prendi come codominio tutto $RR$.
Se invece $f:[-1,+oo) to (-oo,0]$, allora la funzione è biunivoca.
Se invece $f:[-1,+oo) to (-oo,0]$, allora la funzione è biunivoca.
Grazie! Allora ora verifico che sia decrescente
Prese \(\displaystyle x_1,x_2 \) con \(\displaystyle x_1f(x_2) allora la funzione \(\displaystyle f(x) \) è decrescente.
Cioè se $-sqrt(1+x_1) > -sqrt(1+x_2)$
Prendendo un caso specifico, consideriamo \(\displaystyle x_1=3 \) e \(\displaystyle x_2=8 \)
Avremo \(\displaystyle y_1=-2, y_2=-3 \)
Infine dovrei fare: \(\displaystyle f(4x) - x >=f(0) \)
Cioè $-sqrt(1+4x)-x>=-1$
Alla fine, però, non mi viene il risultato finale che è $-1/4<=x<=2-sqrt(5)$
Aspetto suggerimenti.
Prese \(\displaystyle x_1,x_2 \) con \(\displaystyle x_1
Cioè se $-sqrt(1+x_1) > -sqrt(1+x_2)$
Prendendo un caso specifico, consideriamo \(\displaystyle x_1=3 \) e \(\displaystyle x_2=8 \)
Avremo \(\displaystyle y_1=-2, y_2=-3 \)
Infine dovrei fare: \(\displaystyle f(4x) - x >=f(0) \)
Cioè $-sqrt(1+4x)-x>=-1$
Alla fine, però, non mi viene il risultato finale che è $-1/4<=x<=2-sqrt(5)$
Aspetto suggerimenti.
"cardilero":Suggerimento: scrivi i conti che hai fatto
Cioè $-sqrt(1+4x)-x>=-1$
Alla fine, però, non mi viene il risultato finale che è $-1/4<=x<=2-sqrt(5)$
Aspetto suggerimenti.
Allora
$sqrt(1+4x)<=1-x$
C.E.
$1+4x>=0$
\(\displaystyle 1-x>0 \)
C.E.=> $-\frac{1}{4}<=x<1$
Ora posso elevare al quadrato ambo i membri e risulta
$x^2-6x>=0$ le cui soluzioni non corrispondono a $2-sqrt(5)$
$sqrt(1+4x)<=1-x$
C.E.
$1+4x>=0$
\(\displaystyle 1-x>0 \)
C.E.=> $-\frac{1}{4}<=x<1$
Ora posso elevare al quadrato ambo i membri e risulta
$x^2-6x>=0$ le cui soluzioni non corrispondono a $2-sqrt(5)$
Direi che sono corretti il tuo procedimento e la tua soluzione: $-1/4 <= x<=0$
sul libro però viene $-\frac{1}{4}<=x<=2-sqrt(5)$
Non credo sia sbagliato il risultato, secondo me sbaglio qualcosa ma non riesco a capire cosa.
Non credo sia sbagliato il risultato, secondo me sbaglio qualcosa ma non riesco a capire cosa.
Se la disequazione da risolvere è
E nella soluzione del libro $x=0$ non è contemplata.
"cardilero":allora il risultato del libro è sbagliato. Si vede subito che $x=0$ è una soluzione: $f(4*0)-x>=f(0)<=> f(0)>=f(0)$.
Infine dovrei fare: \(\displaystyle f(4x) - x >= f(0) \)
E nella soluzione del libro $x=0$ non è contemplata.
Grazie 
Poi ho un'altro esercizio, riguardante le funzioni pari e dispari.
Bisogna stabilire se la funzione seguente è pari o dispari.
1) $y=2|x|-x$
sono incerto su queste. Allora cominciamo con la prima, in cui abbiamo due casi:
$x>=0$
$y=x$
$x<0$
$y=-3x$
PRIMO CASO: Controlliamo se è pari , cioè se $f(-x)=f(x)$. Notiamo subito che non è pari.
Controlliamo se è dispari, cioè se $f(-x)=-f(x)$. Qua mi risulta $f(-x)=-x$ . devo raccogliere il meno in questo modo? $-(x)$
Era solo questo il dubbio del primo esercizio.
Inoltre un altro piccolo dubbio:
$y=sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x)$
Dopo aver fatto $f(-x)=sqrt(-x^2+6x)+sqrt(-x^2-6x)$ si nota subito che non è pari. Ma non è neanche dispari?
Raccogliendo il meno verrebbe $-f(x)=sqrt(-(x^2-6x))+sqrt(-(x^2+6x))$
Poi ho un'altro esercizio, riguardante le funzioni pari e dispari.Bisogna stabilire se la funzione seguente è pari o dispari.
1) $y=2|x|-x$
sono incerto su queste. Allora cominciamo con la prima, in cui abbiamo due casi:
$x>=0$
$y=x$
$x<0$
$y=-3x$
PRIMO CASO: Controlliamo se è pari , cioè se $f(-x)=f(x)$. Notiamo subito che non è pari.
Controlliamo se è dispari, cioè se $f(-x)=-f(x)$. Qua mi risulta $f(-x)=-x$ . devo raccogliere il meno in questo modo? $-(x)$
Era solo questo il dubbio del primo esercizio.
Inoltre un altro piccolo dubbio:
$y=sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x)$
Dopo aver fatto $f(-x)=sqrt(-x^2+6x)+sqrt(-x^2-6x)$ si nota subito che non è pari. Ma non è neanche dispari?
Raccogliendo il meno verrebbe $-f(x)=sqrt(-(x^2-6x))+sqrt(-(x^2+6x))$
Se
$f(x)=sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x)$,
allora
$f(-x)=sqrt(-(-x)^2-6(-x))+sqrt(-(-x)^2+6(-x))=$
$sqrt(-x^2+6x)+sqrt(-x^2-6x)=sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x)=f(x)$;
invece
$-f(x)=-(sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x))=$
$-sqrt(-x^2-6x)-sqrt(-x^2+6x)$.
$f(x)=sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x)$,
allora
$f(-x)=sqrt(-(-x)^2-6(-x))+sqrt(-(-x)^2+6(-x))=$
$sqrt(-x^2+6x)+sqrt(-x^2-6x)=sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x)=f(x)$;
invece
$-f(x)=-(sqrt(-x^2-6x)+sqrt(-x^2+6x))=$
$-sqrt(-x^2-6x)-sqrt(-x^2+6x)$.
\[f(x)=\sqrt{-x^2-6x}+\sqrt{-x^2+6x}\]
Guardiamo il dominio: ${(-x^2-6x>=0),(-x^2+6x>=0):}=> {(x^2+6x<=0),(x^2-6x<=0):}=> {(x(x+6)<=0),(x(x-6)<=0):}=> {(-6<=x<=0),(0<=x<=6):}=> x=0$
Quindi il dominio è ridotto ad un solo punto.
Possiamo riassumere nel seguente modo: $f:{0}\to {0}$.
Quindi $f$ è contemporaneamente pari e dispari.
Guardiamo il dominio: ${(-x^2-6x>=0),(-x^2+6x>=0):}=> {(x^2+6x<=0),(x^2-6x<=0):}=> {(x(x+6)<=0),(x(x-6)<=0):}=> {(-6<=x<=0),(0<=x<=6):}=> x=0$
Quindi il dominio è ridotto ad un solo punto.
Possiamo riassumere nel seguente modo: $f:{0}\to {0}$.
Quindi $f$ è contemporaneamente pari e dispari.
Vi ringrazio per le risposte, ieri non mi sono più connesso però c'ero già riuscito da solo a completare i due esercizi. Ho un ultimo esercizio riguardo a questo paragrafo delle funzioni Pari/Dispari che è questo:
$y=\frac{|x-5|}{x^3}$
Faccio i due casi del valore assoluto:
$y=\frac{x-5}{x^3}$ per $x>=5$
e
$y=\frac{5-x}{x^3}$ per $x<5$
Dagli esponenti si nota subito che è una funzione dispari, ma non riesco a capire dove sbaglio nel procedimento della regola $f(-x)=-f(x)$
Allora, primo caso
$f(-x)=\frac{-x-5}{-x^3}$ cioè $\frac {x+5}{x^3}$
$-f(x)=-\frac{x-5}{x^3}$ e nel primo caso non è neanche dispari.
Secondo caso
$f(-x)=\frac{x+5}{-x^3}$ cioè $-\frac{x+5}{x^3}$
$-f(x)=-\frac{5-x}{x^3}$ e non risulta neanche il secondo caso.
Non capisco dove sbaglio
$y=\frac{|x-5|}{x^3}$
Faccio i due casi del valore assoluto:
$y=\frac{x-5}{x^3}$ per $x>=5$
e
$y=\frac{5-x}{x^3}$ per $x<5$
Dagli esponenti si nota subito che è una funzione dispari, ma non riesco a capire dove sbaglio nel procedimento della regola $f(-x)=-f(x)$
Allora, primo caso
$f(-x)=\frac{-x-5}{-x^3}$ cioè $\frac {x+5}{x^3}$
$-f(x)=-\frac{x-5}{x^3}$ e nel primo caso non è neanche dispari.
Secondo caso
$f(-x)=\frac{x+5}{-x^3}$ cioè $-\frac{x+5}{x^3}$
$-f(x)=-\frac{5-x}{x^3}$ e non risulta neanche il secondo caso.
Non capisco dove sbaglio
"cardilero":What?
$y=\frac{|x-5|}{x^3}$...
...Dagli esponenti si nota subito che è una funzione dispari
La funzione $f(x) =\frac{|x-5|}{x^3}$ non è nè pari nè dispari.
Infatti $f(5)=0$ mentre $f(-5)= - 10/125$
Mi ricordavo della regolina che diceva:
Se in una funzione la x compare solo con esponenti dispari o pari è rispettivamente una funzione dispari o pari.
Per questo ho dato quella risposta
Se in una funzione la x compare solo con esponenti dispari o pari è rispettivamente una funzione dispari o pari.
Per questo ho dato quella risposta
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