***esercizi con la circonferenza - rette tangenti***

[Saulhudson97]

su questo argomento e non ho le idee molto chiare.
non è che mi ci potreste dare un occhiata e una spiegazione? grazie

tra tutti questo è qll che mi ha dato più problemi.

es. scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x2+y2-4x-2y-3=0 nei suoi punti di intersezione con l'asse y e calcola l'area del quadrilatero formato da tali tangenti e dai raggi nei punti della circonferenza.


che devo fare?

grazie

[mickey88]

Dovresti essere più specifico nello spiegare in quali punti hai difficoltà..
Se in risposta ti dessimo la soluzione già pronta non ti saremmo di grande aiuto.
Data la circonferenza puoi ricavare informazioni quali coordinate del centro e raggio. Conosci l'equazione dell'asse $y$, e quindi ti puoi ricavare i punti di interzezione. Così potrai imporre le condizioni sufficienti per calcolare le equazioni delle rette tangenti. trovata la loro intersezione, questo punto, i punti di tangenza e il centro della circonferenza formano un quadrilatero di cui dovrai calcolare l'area.
Se questo schema risolutivo ti era fià chiaro, quali sono i punti specifici dove incontri difficoltà?

[Sk_Anonymous]

Per prima cosa devi trovare il centro C della circonferenza e i punti A e B di intersezione della circonferenza con l'asse delle y.
Poi devi ricordare la proprietà che dice "nel punto di tangenza, la tangente è perpendicolare al raggio ", questo significa che la tangente in A è $_|_$ alla retta AC. Trovi il coefficiente angolare della retta AC, trovi quello della perpendicolare e la fai passare per A, allo stesso modo ti comporti per trovare la tangente in B.
Trovi il punto D di intersezione delle due tangenti.
Il quadrilatero ACBD è il rettangolo cercato.

[Saulhudson97]

"mickey88":Dovresti essere più specifico nello spiegare in quali punti hai difficoltà..
Se in risposta ti dessimo la soluzione già pronta non ti saremmo di grande aiuto.
Data la circonferenza puoi ricavare informazioni quali coordinate del centro e raggio. Conosci l'equazione dell'asse $y$, e quindi ti puoi ricavare i punti di interzezione. Così potrai imporre le condizioni sufficienti per calcolare le equazioni delle rette tangenti. trovata la loro intersezione, questo punto, i punti di tangenza e il centro della circonferenza formano un quadrilatero di cui dovrai calcolare l'area.
Se questo schema risolutivo ti era fià chiaro, quali sono i punti specifici dove incontri difficoltà?

non capisco come trovare i punti...cioè io devo mettere a sistema l'eq della circonferenza con l'eq di y giusto? ma di punti ne trovo uno solo...e gli altri? deve venire fuori un quadrilatero e non riesco a capire come possono calcolare gli altri punti.....

[Sk_Anonymous]

"t_tania92":
non capisco come trovare i punti...cioè io devo mettere a sistema l'eq della circonferenza con l'eq di y giusto? ma di punti ne trovo uno solo...e gli altri? deve venire fuori un quadrilatero e non riesco a capire come possono calcolare gli altri punti.....

Non puoi trovare un punto solo, ponendo $x=0$ che è l'equazione dell'asse y, trovi un'equazione di secondo grado con delta maggiore di zero!

[Saulhudson97]

"amelia":[quote="t_tania92"]
non capisco come trovare i punti...cioè io devo mettere a sistema l'eq della circonferenza con l'eq di y giusto? ma di punti ne trovo uno solo...e gli altri? deve venire fuori un quadrilatero e non riesco a capire come possono calcolare gli altri punti.....

Non puoi trovare un punto solo, ponendo $x=0$ che è l'equazione dell'asse y, trovi un'equazione di secondo grado con delta maggiore di zero![/quote]

troppi termini tecnici..........so grz all'insegnante che trovo due punti con x=0 altrimenti io avrei pensato di averne trovato uno solo....
cm faccio a sapere che sono due? e che i termini trovati sono le coordinate y dei due punti?????

[Sk_Anonymous]

"t_tania92":
troppi termini tecnici..........

Allora parliamo banale
Hai un'equazione di secondo grado? Allora hai due soluzioni.

[Saulhudson97]

"amelia":[quote="t_tania92"]
troppi termini tecnici..........

Allora parliamo banale
Hai un'equazione di secondo grado? Allora hai due soluzioni.[/quote]

si mi vengono due soluzioni. questo è chiaro...ma per esempio.
in questo caso viene fuori un 3 e un -1 mi pare

ecco io pensavo che il punto A fosse (3;-1)
e non che fossero stati trovati 2 punti --> A(0;3) B(0;-1)


xk? vengono fuori due punti e questo quello che non mi è chiaro...vengono sempre fuori 2 punti?

[Sk_Anonymous]

Prova a pensare come sono fatte una retta e una circonferenza e quale può essere la loro reciproca posizione:
a) se sono esterne, l'equazione di secondo grado non ha soluzioni reali
b) se sono tangenti, l'equazione di secondo grado ha due soluzioni coincidenti, ovvero una sola
c) se sono secanti, l'equazione di secondo grado ha due soluzioni distinte

[alvinlee881]

"t_tania92":
si mi vengono due soluzioni. questo è chiaro...ma per esempio.
in questo caso viene fuori un 3 e un -1 mi pare

ecco io pensavo che il punto A fosse (3;-1)
e non che fossero stati trovati 2 punti --> A(0;3) B(0;-1)
xk? vengono fuori due punti e questo quello che non mi è chiaro...vengono sempre fuori 2 punti?

Quello che ha detto amelia è giusto, tienilo a mente, ma mi sembra di capire che qui ci sia anche un altro problema, più di fondo, riguardante il concetto stesso di funzione (in questo caso retta).
Mi si conceda da parte dei prof qua dentro un pò di libertà di linguaggio, lo scopo è di chiarire il concetto, bando ai tecnicismi. Quelle che te trovi risolvendo un'equazione, le soluzioni, sono i valori della variabile x. Deve essere chiaro il concetto di equazione di una retta. L'equazione di una retta è una "legge", una "regola", che ci dice come sono fatti obbligatoriamente tuti i punti (infiniti) che compongono la retta. E' una cosa molto comoda, perchè ponendo una variabile (la y) in funzione dell'altra (la x), ci permette di conoscerle entrambe non appena ne conosciamo una. Quando si ha il valore, ad esempio, della x, basta mettere questo valore al posto della x nell'equazione della retta, e ricavarsi y. In tal modo si è ottenuto il valore $x$ e$y=f(x)$, dove $f$ è in questo caso un polinomio di primo grado. Per un valore di x corrisponde uno e un solo valore di y, e questo ci permette, ad esempio, di disegnare una retta una volta che si conoscono le ascisse (cioè le x) di due punti di questa retta. Mettiamo che l'equazione della retta sia $y=2x+1$, e sappiamo che i punti $A=(0,y_a)$ e $B=(2,y_b)$ appartengono a questa retta. Cosa vuol dire che appartengono alla retta? Vuol dire che devono rispettare la "legge" di questa retta, devono cioè soddisfare l'equazione della retta. Vuol dire che, se si mette un valore di $x$, ad esempio $0$ al posto della variabile $x$ nell'equazione della retta, deve venir fuori un valore di $y$, nel nostro caso viene fuori $y_a=2*0+1=1$, da cui si conclude che il punto $A$ ha ascissa $0$ (era data) e ordinata $1$ (trovato mediante l'equazione della retta). Il punto è quindi $A=(0,1)$.
Fatta questa lunga premessa (forse inutile), ritorniamo al problema. Facendo il sistema fra l'equazione della retta e quella della circonferenza, ottieni un'equazione nella variabile $x$ (si chiama equazione risolvente) che è di secondo grado, cioè che può avere 2 soluzioni (se il delta è positivo), una soluzione (se ildelta è uguale a zero) o nessuna soluzione (reale) se il delta è minore di zero. Questo a livello strettamente di conti. Ma cosa vuol dire fare il sistema? Vuol dire vedere se e come si incontrano sul piano cartesiano queste 2 cose. Usando il comune metodo della sostituzione, arriviamo alla equazione risolvente (nella variabile x, possibilmente, così si resta in accordo con quanto detto sopra) di secondo grado, che avrà o no soluzioni. Se le ha, vuol dire che aver fatto la sostituzione (cioè aver supposto che queste cose si incontrasssero in qualche punto) ha dato i risultati "sperati", cioè che le cose effettivamente si incontrano, e dove? Nei punti di ascissa $x_1$ e $x_2$ se il delta è maggiore di zero, nell'unico punto di ascissa $x_1=x_2$ se il delta è uguale a zero, oppure in nessun punto (delta negativo). Nel primo caso, te hai ottenuto due distinti valori di x, che corrispondono alle ascisse di due distinti punti, che chiamiamo $A$ e $B$. Abbiamo che $A=(x_1,y_a)$ e $B=(x_2,y_b)$.Non farti spaventare dalle lettere: $x_1$ e $x_2$ sono due numeri ben precisi, li hai trovati risolvendo l'equazione. $y_a$ e $y_b$ invece non li conosci, ma sai che i punti $A$ e $B$ sono punti di interesezione, quindi apparterrano in particolare alla retta di cui è nota l'equazione. Come ho detto prima, appartenere alla retta vuol dire "obbedire" alla legge della retta, che è la sua equazione. Il punto $A$ obbedisce a questa legge, e quindi mettendo $x_1$ al posto di $x$ nell'eq della retta, otteniamo un numero $f(x_1)=y_a$, che è l'ordinata del punto $A$. In definitiva, abbiamo trovato che $a=(x_1,f(x_1))$. Analogamente si fa per il punto $B$. Se il delta è uguale a zero, otterrai una unica soluzione dell'eq di secondo grado, che chiamiamo $barx$ (per disitnguerla dlala x generica dell'equazione). Il punti di intereseione avrà allora, analogamente a prima, ascissa $barx$ e ordinata $f(barx)$, cioè il valore di $y$ che ottieni se al posto di $x$, nell'eq della retta, metti il valore $barx$. Infine, se il delta è minore di zero, non hai da fare altro perchè le due cose non si incontrano mai.
Mi scuso per la prolissità e la ripetitività di questo post (forse in gran parte inutile), ma mi era parso di notare una certa confusione in t_tania 92, specie dato quello che ho citato qua sopra, e spero di averla aiutata un pò.
Ciao

[Sk_Anonymous]

"t_tania92":su questo argomento e non ho le idee molto chiare.
non è che mi ci potreste dare un occhiata e una spiegazione? grazie

tra tutti, questo è quello che mi ha dato più problemi.

es. scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza $x^2+y^2-4x-2y-3=0$ nei suoi punti di intersezione con l'asse y e calcola l'area del quadrilatero formato da tali tangenti e dai raggi nei punti della circonferenza.


che devo fare?

grazie

1) L'equazione data è quella di un cerchio (da $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ si ricava: $x^2-2x x_0+x_0^2+y^2-2yy_0+y_0^2=r^2$ in cui si è posto $-2x_0=a$, $-2y_0=b$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=c$ perciò si ricava $x_0=-a/2=>-(-4/2)=2$
e $y_0=-b/2=>-(-2/2)=1$, che sono le coordinate del centro della circonferenza data.
Dalla $x_0^2+y_0^2-r^2=c$ si ricava, poi: $2^2+1^2-(-3)=r^2$ da cui $r=2sqrt(2)$). Le coordinate del centro, sono infatti: $C(2,1)$ e la misura del raggio è $r=2sqrt(2)>0$ pertanto l'equazione data è proprio quella di un cerchio)
Per trovare le intersezioni della circonferenza con l'asse $y$ bisogna che nell'equazione data si ponga $x=0$ (infatti: tutti i punti che formano l'Asse $y$ hanno ascissa $x=0$. Es.: i punti a valori interi - negativi e positivi - con cui normalmente si quotano gli assi di solito sono 1,2,3,4,5 e tali punti sono, rispettivamente: $O(0,0), X_1(1,0), X_2(2,0), X_3(3,0), X_4(4,0) ,X_5(5,0)\ e\ Y_1(0,1),Y_2(0,2),Y_3(0,3),Y_4(0,4),Y_5(0,5)$), dove il punto $O(0.0)$ è, ovviamente, l'Origine; i punti quotati sull'asse $Y$ hanno, come vedi, tutti Ascissa 0.).
"Facendo sistema" (che brutta frase; significa in pratica verificare se ESISTONO punti comuni. "Facendo Sistema" tra due rette del piano, a seconda che si incontrino (caso più frequente) o che non si incontrino (caso unico di rette, o fascio di, parallele) se esiste un punto COMUNE, questo può essere soltanto UNO; se si "Fà Sistema" tra una Retta ed una Curva le possibilità sono 3: 1) Non si incontrano (Nessun Punto in comune); 2) La retta è tangente alla curva (Una "toccata", come dice un mio conoscente..); 3) Entra nella curva in un punto e ne fuoriesce da un altro, pertanto 2 punti in comune, o due toccate.) si ottiene il seguente sistema :
${(x=0),(0+y^2+0-2y-3=0):}$, ovvero:
${(x=0),(y^2-2y-3=0):}$ che risolto rispetto all'unica variabile $y$, restituisce:
$y_(1,2)=(2+-sqrt(4+12))/2=3,-1$, pertanto i punti cercati esistono e sono $Y_1(x_1=0,y_1=3)$ e $Y_2(x_2=0,y_2=-1)$
Le tangenti a questi due punti le puoi trovare o con la regola dello sdoppiamento (che preferisco) o imponendo che le rette passanti per questi punti siano "ortogonali" a quelle passanti per il centro e per i punti stessi (procedimento più lungo, come è evidente e non sempre applicabile, o applicabile solo a circonferenze). Però, io osservo, che unendo questi punti si ottiene un triangolo, non un quadrilatero. Quale sarebbe il quarto punto? Si deve forse considerare anche quello di intersezione delle due rette tangenti la circonferenza?