Esercizi analisi , aiuto
Buongiorno , chi mi può aiutare con questi esercizi ? ,grazie
Esercizio 1
Per x → 0 le funzioni 1 − cos x e sin x
(a) sono infinitesime dello stesso ordine
(b) 1 − cos x è infinitesima di ordine inferiore
(c) 1 − cos x è infinitesima di ordine superiore
(d) sono equivalenti
Esercizio 2
Il prodotto delle funzioni X e log x per x → 0
(a) tende a zero
(b) tende ad 1
(c) tende a −∞
(d) non esiste il limite per x → 0
Esercizio 3
La funzione x3-x +11-x2 x→−∞
(a) tende a +∞
(b) tende a 1
(c) tende a −∞
(d) ha un asintoto orizzontale
Esercizio 4
La funzione 2x2-32+x2
(a) ha come asintoto la retta y = 2x
(b) è infinita di ordine 2
(c) presenta un asintoto verticale in x = −2
(d) ha come asintoto la retta y = 2 orizzontale
Esercizio 1
Per x → 0 le funzioni 1 − cos x e sin x
(a) sono infinitesime dello stesso ordine
(b) 1 − cos x è infinitesima di ordine inferiore
(c) 1 − cos x è infinitesima di ordine superiore
(d) sono equivalenti
Esercizio 2
Il prodotto delle funzioni X e log x per x → 0
(a) tende a zero
(b) tende ad 1
(c) tende a −∞
(d) non esiste il limite per x → 0
Esercizio 3
La funzione x3-x +11-x2 x→−∞
(a) tende a +∞
(b) tende a 1
(c) tende a −∞
(d) ha un asintoto orizzontale
Esercizio 4
La funzione 2x2-32+x2
(a) ha come asintoto la retta y = 2x
(b) è infinita di ordine 2
(c) presenta un asintoto verticale in x = −2
(d) ha come asintoto la retta y = 2 orizzontale
Risposte
Hai fatto il teorema dell'Hospital? Se sì, allora 1 e 2 si fanno quasi immediatamente, per il 3 basta guardare gli ordini di $oo$. Per il 4 sono perplessa: $x^2$ compare 2 volte, sei sicuro del testo?
GRAZIE , purtroppo li ho fatti tanti anni fa , non ricordo molto bene , i procedimenti , per la quarta il testo è esatto.
1) Visto che quando $x=0$ entrambi i termini si annullano, basta calcolare $lim_(x->oo) (1-cosx)/sinx$ se viene 0 significa che $1-cosx$ è infinitesimo di ordine superiore, se viene $oo$ è infinitesimo di ordine inferiore, se viene un numero finito diverso da 0 hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Per calcolare il limite puoi usare i limiti notevoli, ma visto che le ipotesi di De L'Hopital sono verificate, $lim_(x->oo) (1-cosx)/sinx = lim_(x->oo) sinx/cosx=0$, (c)
2) $lim_(x->0) xlogx=lim_(x->0) logx/(1/x)$ questo per verificare le ipotesi del teorema di De L'Hopital , applicando il teorema si ottiene $lim_(x->0) (1/x)/(-1/x^2)=lim_(x->0) (1/x)*(-x^2)=lim_(x->0) (-x)=0$, (a)
3) $lim_(x->-oo) (x^3-x +11-x^2)$, l'infinito di ordine superiore è $x^3$, quindi comanda lui, come se il limite si riducesse a $lim_(x->-oo) x^3$ che fa (c)
4) La funzione $2x^2-32+x^2=3x^2-32$per $x->oo$ va a $oo$ con la stessa velocità di $x^2$ quindi (b)
2) $lim_(x->0) xlogx=lim_(x->0) logx/(1/x)$ questo per verificare le ipotesi del teorema di De L'Hopital , applicando il teorema si ottiene $lim_(x->0) (1/x)/(-1/x^2)=lim_(x->0) (1/x)*(-x^2)=lim_(x->0) (-x)=0$, (a)
3) $lim_(x->-oo) (x^3-x +11-x^2)$, l'infinito di ordine superiore è $x^3$, quindi comanda lui, come se il limite si riducesse a $lim_(x->-oo) x^3$ che fa (c)
4) La funzione $2x^2-32+x^2=3x^2-32$per $x->oo$ va a $oo$ con la stessa velocità di $x^2$ quindi (b)
Grazie mille , veramente grazie , grazie , ho altri esercizi ,puoi gentilmente aiutarmi ancora?
6) Le funzioni sin x/x e 1/x
(a) sono infinitesimi non confrontabili per x → +∞
(b) sono infiniti non confrontabili per x → +∞
(c) sono infinitesimi confrontabili per x → +∞
(d) sono equivalenti per x → +∞
7) Le funzioni sin x/x e 1/x per x → 0
(a) sono equivalenti
(b) la prima tende a 0 e la seconda ad 1
(c) tendono entrambe a zero
(d) non ammettono limite
9) Per x → 0 le funzioni log(x+1) ed (e^x)-1
(a) sono infinitesime dello stesso ordine
(b) è infinitesima di ordine inferiore
(c) è infinitesima di ordine superiore
(d) non sono equivalenti
10) Per x → 0 le funzioni tan x e x
(a) sono infinitesime dello stesso ordine e il limite del loro rapporto tende a π
(b) sono infinitesime dello stesso ordine e il limite del loro rapporto tende a 1
(c) x è un infinitesimo di ordine superiore
(d) tan x è un infinitesimo di ordine superiore
grazie , le altre che mancano le ho già fatte , grazie sempre
6) Le funzioni sin x/x e 1/x
(a) sono infinitesimi non confrontabili per x → +∞
(b) sono infiniti non confrontabili per x → +∞
(c) sono infinitesimi confrontabili per x → +∞
(d) sono equivalenti per x → +∞
7) Le funzioni sin x/x e 1/x per x → 0
(a) sono equivalenti
(b) la prima tende a 0 e la seconda ad 1
(c) tendono entrambe a zero
(d) non ammettono limite
9) Per x → 0 le funzioni log(x+1) ed (e^x)-1
(a) sono infinitesime dello stesso ordine
(b) è infinitesima di ordine inferiore
(c) è infinitesima di ordine superiore
(d) non sono equivalenti
10) Per x → 0 le funzioni tan x e x
(a) sono infinitesime dello stesso ordine e il limite del loro rapporto tende a π
(b) sono infinitesime dello stesso ordine e il limite del loro rapporto tende a 1
(c) x è un infinitesimo di ordine superiore
(d) tan x è un infinitesimo di ordine superiore
grazie , le altre che mancano le ho già fatte , grazie sempre
(6) sono un po' incerta, ci devo riflettere un attimo, direi infinitesime NON confrontabili (a)
(7) non c'è la risposta corretta, la prima è un limite notevole che tende a 1, la seconda, dipende da come è stata definita la chiusura di $RR$, può tendere a $oo$ oppure non ammettere limite. Secondo me c'è un errore nel testo e le due funzioni sono $sin (1/x)$ e $1/x$, in questo caso la risposta è la (d)
(9) la prima funzione tende a 0, la seconda tende a 1, quindi (d)
(10) la forma corretta è (b), basta scrivere il rapporto $tanx/x= sinx / (x*cosx)=sinx/x*1/cosx$ il primo fattore è un limite notevole che fa 1, il secondo non è indeterminato e fa pure 1.
(7) non c'è la risposta corretta, la prima è un limite notevole che tende a 1, la seconda, dipende da come è stata definita la chiusura di $RR$, può tendere a $oo$ oppure non ammettere limite. Secondo me c'è un errore nel testo e le due funzioni sono $sin (1/x)$ e $1/x$, in questo caso la risposta è la (d)
(9) la prima funzione tende a 0, la seconda tende a 1, quindi (d)
(10) la forma corretta è (b), basta scrivere il rapporto $tanx/x= sinx / (x*cosx)=sinx/x*1/cosx$ il primo fattore è un limite notevole che fa 1, il secondo non è indeterminato e fa pure 1.
grazie infinite , scusa se mi permetto , ma è giusto anche un confronto , l'unica che non mi convince è la risposta 9 , secondo me è la A.
Grazie sempre , buon fine settimana
Grazie sempre , buon fine settimana
La seconda funzione NON è infinitesima per $x->0$, infatti vale 1.
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