Esercizi Affinità

[ds1993]

vorrei capire come riuscire a risolvere un problema tipo questo:
considerata la trasformazione T:
T:R^2-->R^2|(x,y)-->(x,3y)
trasformare il quadrato Q di vertici (1;0) (0;1) (1;2) (2;1).Quale figura F si ottiene? calcolare il rapporto tra l'aerea di F e l'aerea di Q
aiutoooooo vi prego raga li devo capire

[ds1993]

aiutatemi vi prego

[@melia]

Basta sostituire alle x i valori delle ascisse e alle y quelli delle ordinate
$(x,y) ->(x,3y)$
$(1;0) -> (1;3*0)=(1;0)$
$ (0;1) -> (0;3*1)=(0;3)$
$(1;2) ->(1; 3*2)=(1; 6)$
$(2;1) -> (2;3*1) =(2;3)$
Avevi un quadrato che trasformato e diventato un rombo.

[ds1993]

(1;0)→(1;3⋅0)=(1;0)
(0;1)→(0;3⋅1)=(0;3)
(1;2)→(1;3⋅2)=(1;6)
(2;1)→(2;3⋅1)=(2;3)
e cn questi ora k faccio

[@melia]

Cominci con lo scrivere in italiano e non nel linguaggio degli sms. Poi li riporti nel piano cartesiano e ti studi le figure, quella di partenza e quella di arrivo.

[redlex91-votailprof]

"ds1993":vorrei capire come riuscire a risolvere un problema tipo questo:
considerata la trasformazione T:
T:R^2-->R^2|(x,y)-->(x,3y)
trasformare il quadrato Q di vertici (1;0) (0;1) (1;2) (2;1).Quale figura F si ottiene? calcolare il rapporto tra l'aerea di F e l'aerea di Q
aiutoooooo vi prego raga li devo capire

Considerata la trasformazione [tex]T\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$|(x;y)\to(x;3y)[/tex], trasformare il quadrato $Q$ di vertici $(1;0),(0;1),(1;2),(2;1)$. Quale figura $F$ si ottiene? Calcolare il rapporto tra l'area di $F$ e l'area di $Q$.

Inidichiamo nel seguente modo la trasformazione:

[tex]T\colon\left\lbrace\begin{array}{@{}l@{}}
x'=x\\
y'=3y
\end{array}\right.[/tex]
il determinante della matrice dei coefficienti è:

[tex]\det A=\begin{vmatrix}
1&0\\
0&3
\end{vmatrix}=1\cdot3=3[/tex]

tale valore preso in valore assoluto è detto rapporto di affinità.

$T$ è una affinità in quanto le equazioni sono di primo grado e $\detA\ne0$. Inoltre non è una equivalenza né una isometria in quanto [tex]\det A\ne1[/tex].
Ora, le affinità godono di importanti proprietà tra cui:
-mutano rette parallele in rette parallele;
-presa una figura $F$ di area $S$ la sua trasformata $F'$ mediante l'affinità $T$ avrà area $S'=|\detA|\cdotS$
La prima prop. ci dice che la tua figura $F'$ mantiene il parallelismo tra i lati quindi è perlomeno un parallelogramma.
I punti trasformati sono: $A'(1;0),B'(0;3),C'(1;6),D'(2;3)$ come detto da @melia. Ora i lati hanno rispettivamente misura:
$A'B'=\sqrt{1+9}=\sqrt(10)$
$B'C'=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
$C'D'=\sqrt{10}$
$A'D'=\sqrt{10}$
Pertanto è un rombo; che non è un rettangolo lo verifichiamo banalmente con il th di Pitagora: $A'B'^2+A'D'^2=B'D'^2$ i.e. $10+10\ne2$.
La seconda prop. ci risparmia una marea di calcoli; detta $F$ l'area di $F$ e $Q$ l'area di $Q$ abbiamo che: $F=|\detA|\cdotQ$ segue che $F/Q=|\detA|=$ dimmelo tu.