Esecizio sulle affinità

[Studente210]

Salve a tutti,
vi chiederei per favore se potreste spiegarmi come risolvere questo esercizio sulle affinità:


Determinare le equazioni dell'affinità T che ha come punti uniti O (0;0) e C (1;0) e trasforma il punto B (1;1) nel punto A (0;2). Stabilire se l'affinità ha altri punti uniti e trovare le sue rette unite.
Calcolare l'area del triangolo COB e determinare l'area del suo trasformato nell'affinità T.



Grazie mille

[Sk_Anonymous]

Presumo che si parli di affinita' tra piani sovrapposti.Le equazioni di una tale
trasformazione sono del tipo:
x'=ax+by+c
y'=mx+ny+p
con an-bm diverso da zero.
Imponendo le condizioni del problema si ha il sistema:
{c=0
p=0
1=a+c
0=m+p
0=a+b+c
2=m+n+p}
da cui si trae che:
a=1,b=-1,c=0,m=0,n=2,p=0 e quindi le equazioni cercate sono:
(1) x'=x-y ..... y'=2y oppure in forma inversa (2) x=x'+y'/2 ..... y=y'/2
Per cercare altri punti uniti dobiamo porre nelle (1) x=x' e y=y' e si ha:
x=x-y, y=y da cui si ottiene che deve essere y=0.Cio' significa che tutti i punti
della retta y=0 (e cioe' l'asse x ) sono uniti ,cosa prevedibile perche' per ipotesi
sono uniti i punti (0,0) e (1,0) che stanno appunto su tale asse.
Per avere le eventuali rette unite consideriamo la generica retta r del piano xy e sia ax+by+c=0.Essa mediante le (2) si trasforma in a(x'+y'/2)+by'/2+c=0
ovvero 2ax'+(a+b)y'+2c=0 e quest'ultima coincide con la r solo se si ha:
2a/a=(a+b)/b=2c/c da cui si ottiene che: a=b .Pertanto ,supposto a non nullo,
le rette unite sono quelle di equazione: a(x+y)+c=0.
E' da notare che anche l'asse x e' retta unita ma lo e' punto per punto a differenza di
quelle trovate sopra che sono pure rette unite ma non punto per punto.
Infine ,poiche' si vede facilmente che OCB e' un triangolo rettangolo di cateti uguali
ad 1,l'area di detto triangolo e' 1/2 e dunque,per una nota proprieta' delle affinita', l'area del triangolo corrispondente e' 1/2*|an-bm|=1/2*2=1.A questo risultato si puo' anche giungere osservando che il trasformato di OCB e' OCA che e' anch'esso un triangolo rettangolo di cateti 1 e 2.
Archimede