Esame di Stato America Latina 2001 quesito n.4.
Non riesco a risolvere questo quesito tratto dall'esame di Stato 2001 dell'America Latina:
" E' assegnato , in un riferimento cartesiano monometrico, il luogo geometrico dei punti che soddisfano all'equazione:$2xy - (k-1)x + 4y -2k +1 = 0$ , dove k è un parametro reale. Determinare per quali valori di k il luogo assegnato è:
a) una iperbole;
b) una coppia di rette."
Io l'ho trasformato così: $y(2x+4)=(k-1)x+2k-1$ da cui, per x diverso da -2 si ha $y= ((k-1)x+2k-1)/(2x+4)$, cioè una funzione omografica, ma già facendo il centro$(-2; (k-1)/2)$ non capisco, perchè x=-2 non si può accettare, (l'altra condizione $ad-bc<>0$ viene -2 e sembrerebbe rispettata per ogni k).
Ho provato a metterlo così:$x+2xy+4y+1+k(-x-2)=0$ mettendo a sistema $x+2xy+4y+1=0$ e $-x-2=0$ per trovare i punti fissi, ma mi viene -1=0 !
Per la coppia di rette ho provato a uguagliare tutta l'espressione del testo a $(x+a)(y+b)$ e procedendo con l'identità dei polinomi, ma mi viene 2=1 !
Allora come si può procedere?
Potete aiutarmi?
Grazie.
" E' assegnato , in un riferimento cartesiano monometrico, il luogo geometrico dei punti che soddisfano all'equazione:$2xy - (k-1)x + 4y -2k +1 = 0$ , dove k è un parametro reale. Determinare per quali valori di k il luogo assegnato è:
a) una iperbole;
b) una coppia di rette."
Io l'ho trasformato così: $y(2x+4)=(k-1)x+2k-1$ da cui, per x diverso da -2 si ha $y= ((k-1)x+2k-1)/(2x+4)$, cioè una funzione omografica, ma già facendo il centro$(-2; (k-1)/2)$ non capisco, perchè x=-2 non si può accettare, (l'altra condizione $ad-bc<>0$ viene -2 e sembrerebbe rispettata per ogni k).
Ho provato a metterlo così:$x+2xy+4y+1+k(-x-2)=0$ mettendo a sistema $x+2xy+4y+1=0$ e $-x-2=0$ per trovare i punti fissi, ma mi viene -1=0 !
Per la coppia di rette ho provato a uguagliare tutta l'espressione del testo a $(x+a)(y+b)$ e procedendo con l'identità dei polinomi, ma mi viene 2=1 !
Allora come si può procedere?
Potete aiutarmi?
Grazie.
Risposte
Temo che con gli strumenti "soliti" del liceo tu non sia in grado di svolgere tutto l'esercizio, a meno che tu non sia in un liceo scientifico PNI e abbia fatto la teoria degli invarianti per il riconoscimento delle coniche.
Se questo è il tuo caso, allora dovresti sapere che ottieni le coniche degeneri (rette) quando l'invariante cubico è nullo.
Quindi costruisci la matrice dei coefficienti della conica e studia I[size=67]3[/size]...
Se invece vuoi procedere a livello intuitivo, traccia l'asintoto verticale fisso del fascio di iperboli, x = -2, e dai un'occhiata all'espressione dell'asintoto orizzontale, che è l'unico dei due dipendente dal parametro, quindi non esistono valori di k affinchè il fascio degeneri in una coppia di rette.
Ecco un grafichino veloce veloce, senza pretese:
http://www.geogebra.org/en/upload/files/italian/Simona_mathmum/TDE_Scientifico/Estero/TDE_AmLatina_01.html
Se questo è il tuo caso, allora dovresti sapere che ottieni le coniche degeneri (rette) quando l'invariante cubico è nullo.
Quindi costruisci la matrice dei coefficienti della conica e studia I[size=67]3[/size]...
Se invece vuoi procedere a livello intuitivo, traccia l'asintoto verticale fisso del fascio di iperboli, x = -2, e dai un'occhiata all'espressione dell'asintoto orizzontale, che è l'unico dei due dipendente dal parametro, quindi non esistono valori di k affinchè il fascio degeneri in una coppia di rette.
Ecco un grafichino veloce veloce, senza pretese:
http://www.geogebra.org/en/upload/files/italian/Simona_mathmum/TDE_Scientifico/Estero/TDE_AmLatina_01.html
Grazie per la risposta MATHMUM.
Quindi mi pare di capire che quello che avevo dedotto sulla riducibilità anzi sulla non riducibilità a una coppia di rette era giusto (non conosco gli invarianti di cui parlavi, me li andrò sicuramente a guardare).
Ma è giusto che siamo in presenza di un'iperbole per qualunque valore di k?
p.s. Bella l'animazione con GeoGebra.
Quindi mi pare di capire che quello che avevo dedotto sulla riducibilità anzi sulla non riducibilità a una coppia di rette era giusto (non conosco gli invarianti di cui parlavi, me li andrò sicuramente a guardare).
Ma è giusto che siamo in presenza di un'iperbole per qualunque valore di k?
p.s. Bella l'animazione con GeoGebra.
Credo ci sia una strada più semplice: la classificazione delle coniche in base al loro determinante dovresti averla fatta; mi riferisco al riconoscimento di una conica in forma $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ in base al valore di $\Delta=b^2-4ac$.
Per il caso della coppia di rette, basta sapere quando una conica degenera in una coppia di rette.
Per il caso della coppia di rette, basta sapere quando una conica degenera in una coppia di rette.
"Raptorista":
Credo ci sia una strada più semplice: la classificazione delle coniche in base al loro determinante dovresti averla fatta; mi riferisco al riconoscimento di una conica in forma $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ in base al valore di $\Delta=b^2-4ac$.
Per il caso della coppia di rette, basta sapere quando una conica degenera in una coppia di rette.
Non c'è una strada più o meno semplice: la classificazione in base al $\Delta$ si riferisce solo alle coniche non degeneri:per studiare le coniche degeneri è necessario studiare la singolarità della matrice rappresentativa della conica, cioè, in matematichese, l'$I_3$
Saluti,
S.
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