Equzioni goniometri contenenti funzioni di argomenti diversi
sia data la seguente equazione:
$tg(45-x)*cotg(45+x)$=$7-4sqrt(3)$
io l'ho risolta dividendo tutto per cotg(45+x) che ho trasformato nel secondo membro in 1/tangente(45+x). i calcoli sono stati lunghi,molto lunghi,ma alla fine ho ottenuto una rquazione di 2 grado in tangente che ho risolto.Il professore invece ci ha fatto notare che 45-x+45+x=90 quindi e di conseguenza cotg(90+t)=tgt. Ora io non ho capito il suo procedimento o meglio non ho capito che senso ha fare la somma dei due angoli. Il calcolo che viene fuori con questo procedimento è semplicissimo e velocissimo però non ho capito per quale motivo si fa la somma.Mi potreste aiutare?
$tg(45-x)*cotg(45+x)$=$7-4sqrt(3)$
io l'ho risolta dividendo tutto per cotg(45+x) che ho trasformato nel secondo membro in 1/tangente(45+x). i calcoli sono stati lunghi,molto lunghi,ma alla fine ho ottenuto una rquazione di 2 grado in tangente che ho risolto.Il professore invece ci ha fatto notare che 45-x+45+x=90 quindi e di conseguenza cotg(90+t)=tgt. Ora io non ho capito il suo procedimento o meglio non ho capito che senso ha fare la somma dei due angoli. Il calcolo che viene fuori con questo procedimento è semplicissimo e velocissimo però non ho capito per quale motivo si fa la somma.Mi potreste aiutare?
Risposte
Ha applicato la formula degli archi associati in cui si ha che $cotg(pi/2-alpha)=tg alpha$
Ciao.
Questa formuletta in breve ti dice che se hai una cotangente di qualcosa, allora essa è uguale alla tangente ma con l'argomento più piccolo di 90.
Quindi si ha che
$cot(45+x)=tan[(45+x)-90]=tan(x-45)$.
Ma la tangente è dispari, cioè
$tan(x-45)=-tan(45-x)$ quindi
$cot(45+x)=-tan(45-x)$ quindi l'equazione diviene
$-tan^2(45-x)=7-4sqrt3$
Ciao.
cotg(90+t)=tgt
Questa formuletta in breve ti dice che se hai una cotangente di qualcosa, allora essa è uguale alla tangente ma con l'argomento più piccolo di 90.
Quindi si ha che
$cot(45+x)=tan[(45+x)-90]=tan(x-45)$.
Ma la tangente è dispari, cioè
$tan(x-45)=-tan(45-x)$ quindi
$cot(45+x)=-tan(45-x)$ quindi l'equazione diviene
$-tan^2(45-x)=7-4sqrt3$
Ciao.
amelia io però non capisco perchè arriva a sommare gli angoli. se ho ad esempio: (x-1)*(x+2)=x-1 posso dire che x+2=1 perchè divido l'equazione per x-1 e poi lo pongo uguale a zero. Però su quale principio lui va a sommare gli angoli?
"rofellone":
(x-1)*(x+2)=x-1 posso dire che x+2=1 perchè divido l'equazione per x-1
Ma anche no: $x=1$ è soluzione, quindi non si può.
"amelia io però non capisco perchè arriva a sommare gli angoli. se ho ad esempio: (x-1)*(x+2)=x-1 posso dire che x+2=1 perchè divido l'equazione per x-1 e poi lo pongo uguale a zero. Però su quale principio lui va a sommare gli angoli?"
Wizard infatti ho premesso che dopo aver diviso per x-1 pongo x-1=0 altrimenti mi perdo una soluzione.Però non capisco su quale base il professore somma gli angoli. Me lo potreste spiegare?
Wizard infatti ho premesso che dopo aver diviso per x-1 pongo x-1=0 altrimenti mi perdo una soluzione.Però non capisco su quale base il professore somma gli angoli. Me lo potreste spiegare?
"rofellone":
Wizard infatti ho premesso che dopo aver diviso per x-1 pongo x-1=0 altrimenti mi perdo una soluzione.Però non capisco su quale base il professore somma gli angoli. Me lo potreste spiegare?
I'm sorry: errore mio.
QUanto agli angoli, credo che il prof.re somma gli angoli per tirare fuori le formule sugli archi associati.
però ripeto come si arriva alla conclusione che gli angoli debbono essere sommati? Mi date una spiegazione per farmi capire come si arriva a fare ciò?
"rofellone":
però ripeto come si arriva alla conclusione che gli angoli debbono essere sommati? Mi date una spiegazione per farmi capire come si arriva a fare ciò?
Semplice: sommando gli angoli vediamo che i due angoli sono complementari.
E la formula suggerita da @melia all'inizio, come vedi, prevede la presenza di due angoli complementari.
Ciao.
Vediamo se riesco a mettere un poco di ordine.
Esiste una formula, i.e. quella citata da @melia e Steven, che ti permette di passare dalla cotangente alla tangente. Questa formula la puoi dimostrare in diversi modi: puoi farti un disegnino, puoi usare partire dalla definisizone di $cotg$ in funzione di $sin$ e $cos$ e, usando le formule per seno e coseno di angoli complementari, arrivare alla $tg$, potresti anche procedere in qualche altro modo (che al momento ignoro... ).
E questo è un fatto che vale in generale.
Quello che il te genera confusione è l'utilizzo del "quindi" accompagnato dalla succitata formula dopo averer notato che $45-x+45+x=90$: ebbene, il "quindi" non serve, almeno se inteso come conclusivo della notazione sulla somma degli angoli.
La notazione è relativa e specifica per l'equazione in oggetto: hai una $tg$ e una $cotg$ e guarda un poco si da il caso che sommandone gli argomenti ti venga fuori l'angolo retto, ma allora puoi scrivere la $cotg$ con argomento $90$ diminuito dell'argomento della $tg$ e applicare la formuletta per ottenere due $tg$ col medesimo argomento.
Esiste una formula, i.e. quella citata da @melia e Steven, che ti permette di passare dalla cotangente alla tangente. Questa formula la puoi dimostrare in diversi modi: puoi farti un disegnino, puoi usare partire dalla definisizone di $cotg$ in funzione di $sin$ e $cos$ e, usando le formule per seno e coseno di angoli complementari, arrivare alla $tg$, potresti anche procedere in qualche altro modo (che al momento ignoro... ).
E questo è un fatto che vale in generale.
Quello che il te genera confusione è l'utilizzo del "quindi" accompagnato dalla succitata formula dopo averer notato che $45-x+45+x=90$: ebbene, il "quindi" non serve, almeno se inteso come conclusivo della notazione sulla somma degli angoli.
La notazione è relativa e specifica per l'equazione in oggetto: hai una $tg$ e una $cotg$ e guarda un poco si da il caso che sommandone gli argomenti ti venga fuori l'angolo retto, ma allora puoi scrivere la $cotg$ con argomento $90$ diminuito dell'argomento della $tg$ e applicare la formuletta per ottenere due $tg$ col medesimo argomento.
Wizard ti ringrazio infinitamente 
Finalmente ho capito (in effetti non era molto difficile 
). vi ringrazio e nell'occasione vi auguro buona domenica
Finalmente ho capito (in effetti non era molto difficile ). vi ringrazio e nell'occasione vi auguro buona domenica
"rofellone":
buona domenica
Ricambio.
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