Equivoci matematici

[germany-votailprof]

Per caso $arcotgx=-arcocotgx$ ?? Perché $int(1/(1+x^2)dx)=arcotgx+c$ mentre $int(-1/(1+x^2)dx)=arcocotgx+c$ e non invece $int(-1/(1+x^2)dx)=-arcotgx+c$ oppure $int(1/(1+x^2)dx)=-arcocotgx+c$ ???

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Volvox":Per caso $arcotgx=-arcocotgx$ ??

No ma la quantità $arcotgx+arcocotgx$ è costante, e quindi derivando non la vedi.

[germany-votailprof]

Non l'ho capito, comunque perché l'integrale $int-(1/(1+x^2))dx$ risulta arcocotgx+c e non -arcotgx+c? Proprio non lo capisco.

[igiul1]

Derivate
$Darctgx=1/(1+x^2)$
$Darcctgx=-1/(1+x^2)$
Tieni presente la definizione di integrale indefinito e dovresti avere la risposta

[igiul1]

la seconda è
$Darcocotgx=-1/(1+x^2)$

[germany-votailprof]

"igiul":Derivate
$Darctgx=1/(1+x^2)$
$Darcoctgx=-1/(1+x^2)$
Tieni presente la definizione di integrale indefinito e dovresti avere la risposta

Questo lo so, ma la differenza è solo un meno, si potrebbe dire che $D-arctgx=-1/(1+x^2)$, scusate! Non mi è chiaro...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Volvox":Non l'ho capito, comunque perché l'integrale $int-(1/(1+x^2))dx$ risulta arcocotgx+c e non -arcotgx+c? Proprio non lo capisco.

Tu sai che

$arcotg(x)=pi/2-arcocotg(x)$

Quindi

$int-(1/(1+x^2))dx = -arcotg(x)+c = -(pi/2-arcocotg(x))+c = arcocotg(x)+(c-pi/2)$

e come vedi è cambiato solo che la costante arbitraria $c$ è cambiata in $c-pi/2$ (che pure è una costante arbitraria).

Insomma, le due soluzioni sono le stesse, sembrano diverse perché differiscono per una costante.

Spero che sia chiaro...

[igiul1]

"Volvox":[quote="igiul"]Derivate
$Darctgx=1/(1+x^2)$
$Darcoctgx=-1/(1+x^2)$
Tieni presente la definizione di integrale indefinito e dovresti avere la risposta

Questo lo so, ma la differenza è solo un meno, si potrebbe dire che $D-arctgx=-1/(1+x^2)$, scusate! Non mi è chiaro...[/quote]

SI $D(-arctgx)=-1/(1+x^2)$ perchè $Dk*f(x)=k*Df(x)$, nel caso specifico $k=-1$

Venendo alla tua domanda iniziale, la risposta è NO
L'ntegrale indefinito è, chedo lo sai benissimo, l'insieme di tutte le primitive le quali differiscono solo per una costante.

Di conseguenza

$arcocotgx +c_1=int(-1/(1+x^2))dx=-int(1/(1+x^2))dx=-arctgx+c_2$


$arcocotgx=-arctgx+k$ il K ingloba le due costanti che $c_1$ e $c_2$