Equivalenze
“Si prolunghi la diagonale AC del quadrato ABCD in E, in modo che AE sia doppio del lato del quadrato, si conduca la distanza EF alla retta del lato AB e, quindi, dimostrare che il triangolo AEF è equivalente al quadrato ABCD.”
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao Antonio, ecco un modo semplice semplice.
In pratica ti basta dimostrre che l'area del trapezio rettangolo CEBF è uguale all'area di metà quadrato ABCD.
Per far questo, sfrutta la similitudine fra il triangolo ABC e il triangolo AFE (hanno gli angoli congruenti).
Ti basta trovare EF in funzione di CB, AC e AE. Poi trovi AF in funzione di AB, AE e AC. (questi sono tutti dati che hai, in funzion del lato l).
Quindi ti calcoli l'area del trapezio: la base maggiore è EF, la base minore è il lato, l'altezza è AF - il lato.
Svolgi i calcoli e ottieni che l'area del trapezio è l^2/2, cioè l'area di metà quadrato.
Mi sono spiegato?
Ciao!
Fabio
In pratica ti basta dimostrre che l'area del trapezio rettangolo CEBF è uguale all'area di metà quadrato ABCD.
Per far questo, sfrutta la similitudine fra il triangolo ABC e il triangolo AFE (hanno gli angoli congruenti).
Ti basta trovare EF in funzione di CB, AC e AE. Poi trovi AF in funzione di AB, AE e AC. (questi sono tutti dati che hai, in funzion del lato l).
Quindi ti calcoli l'area del trapezio: la base maggiore è EF, la base minore è il lato, l'altezza è AF - il lato.
Svolgi i calcoli e ottieni che l'area del trapezio è l^2/2, cioè l'area di metà quadrato.
Mi sono spiegato?
Ciao!
Fabio
S(AEF)=1/2*AF*FE=1/2*AF^2=1/4*(AF^2+FE^2)=1/4*AE^2=1/4*(2*AB)^2=
=AB^2=S(ABCD).
Archimede.
=AB^2=S(ABCD).
Archimede.
X SaturnV:
sono d'accordo, l'unico problema è che non ho ancora studiato le similitudini e neanche la misura delle aree (o per meglio dire so come si calcolano ma la prof non vuole che le utilizziamo nelle dimostrazioni).
Il teorema si trova negli esercizi del capitolo dedicato ai teoremi di Euclide e di Pitagora, quindi credo di dover utilizzare questi due, ma non so come!
X archimede:
Anche la tua dimostrazione sfrutta la misura delle aree. E poi scusami, ma come fai a dire (nel secondo passaggio) che AF=FE? E inoltre non capisco la terza eguaglianza... Scusami sono proprio un grande ignorante...
Grazie lo stesso ad entrambi... Pol
sono d'accordo, l'unico problema è che non ho ancora studiato le similitudini e neanche la misura delle aree (o per meglio dire so come si calcolano ma la prof non vuole che le utilizziamo nelle dimostrazioni).
Il teorema si trova negli esercizi del capitolo dedicato ai teoremi di Euclide e di Pitagora, quindi credo di dover utilizzare questi due, ma non so come!
X archimede:
Anche la tua dimostrazione sfrutta la misura delle aree. E poi scusami, ma come fai a dire (nel secondo passaggio) che AF=FE? E inoltre non capisco la terza eguaglianza... Scusami sono proprio un grande ignorante...
Grazie lo stesso ad entrambi... Pol
io lo farei cosi:
indichiamo AB=a, quindi AE=2a
il triangolo AEF è isoscele, infatti l'angolo in F è retto, quello in A 45°,quindi quello in
E 180°-90°-45°=45°
da F tracciamo la perpendicolare a AE che la interseca in H, essendo il triangolo isoscele
AH=a
anche AFH è isoscele (ragiona come prima), pertanto FH=a
ora, un triangolo è equivalente a un parallelogrammo ( il quadrato lo è) che abbia per base metà base e per altezza la stessa altezza del triangolo
la base del quadrato AB=a è metà base triangolo AE=2a
altezza quadrato è a ed è uguale FH=a (altezza triangolo)
indichiamo AB=a, quindi AE=2a
il triangolo AEF è isoscele, infatti l'angolo in F è retto, quello in A 45°,quindi quello in
E 180°-90°-45°=45°
da F tracciamo la perpendicolare a AE che la interseca in H, essendo il triangolo isoscele
AH=a
anche AFH è isoscele (ragiona come prima), pertanto FH=a
ora, un triangolo è equivalente a un parallelogrammo ( il quadrato lo è) che abbia per base metà base e per altezza la stessa altezza del triangolo
la base del quadrato AB=a è metà base triangolo AE=2a
altezza quadrato è a ed è uguale FH=a (altezza triangolo)
Thank you very much indeed!! Grazie 1000 Piera!
Ciao
Pol
Ciao
Pol
Aiuto di nuovo!! Sono nel panico! Come faccio a dimostrare che “Se due corde di una circonferenza sono perpendicolari, la somma dei quadrati costruiti sui quattro segmenti in cui esse restano divise è equivalente al quadrato costruito sul diametro”?
Il libro inoltre aggiunge: “ Suggerimento. Se AB e CD sono le due corde e i punti A, D, B, C si susseguono nell’ordine, si conduca il diametro DD’ e si osservi (ndr: e io non riesco nemmeno a dimostrarlo, lo “osservo” soltanto!) che il quadrilatero ABD’C è un trapezio isoscele”.
Come fare? Sono disperato anche perché martedì ho il compito in classe su tutta ‘sta roba. Help!
Grazie 1000! Un saluto Pol
Il libro inoltre aggiunge: “ Suggerimento. Se AB e CD sono le due corde e i punti A, D, B, C si susseguono nell’ordine, si conduca il diametro DD’ e si osservi (ndr: e io non riesco nemmeno a dimostrarlo, lo “osservo” soltanto!) che il quadrilatero ABD’C è un trapezio isoscele”.
Come fare? Sono disperato anche perché martedì ho il compito in classe su tutta ‘sta roba. Help!
Grazie 1000! Un saluto Pol
Poiche' il triangolo D'CD e' inscritto in mezza circonferenza ,l'angolo D'CD e' retto ovvero la corda D'C e' perpendicolare alla corda CD e quindi parallela alla corda AB. Cio' prova che il quadrilatero BD'CA e' un trapezio isoscele e dunque AC=BD'.
Ora per il teorema di Pitagora ,dal triangolo rettangolo D'BD si ha:
(1) $BD^2+BD'^2=DD'^2$
Ma dai triangoli rettangoli BED ed AEC,sempre per Pitagora,otteniamo:
$BD^2=DE^2+EB^2$
$BD'^2=AC^2=AE^2+EC^2$
Sostituendo queste ultime due relazione nella (1) ,risulta:
$DE^2+EB^2+AE^2+EC^2=DD'^2$
che e' quello che si doveva dimostrare.
Archimede.
Sì, hai ragione. Grazie Archimede.
Paolo90
Paolo90
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