Equivalenza triangolo.
In un triangolo $ ABC $ traccia la mediana $ AM $ . Indica con $ N $ il punto medio di $ AM $ e traccia la retta $ BN $ , che interseca $ AC $ in $ D $ . Dimostra che l'area del triangolo $ AND $ è $ 1/12 $ dell'area di $ ABC $.
Ho provato a tracciare varie parallele,per cercare di individuare equivalenze, ma non arrivo alla dimostrazione; posso solo dire che $ ABM~=AMC $ .
Ho provato a tracciare varie parallele,per cercare di individuare equivalenze, ma non arrivo alla dimostrazione; posso solo dire che $ ABM~=AMC $ .
Risposte
Calcola le aree di un bel po' di triangoli.
Io ci ho provato, molto 
Ed è evidente da subito che l'altezza del triangolo $AND$ rispetto ad $AD$ è $1/4$ di quella del triangolo $ABC$.
Si vede anche ad occhio che $AD$ è un terzo di $AC$ ma non sono riuscito a dimostrarlo
Ci deve essere qualche teorema sulle mediane ...
Ed è evidente da subito che l'altezza del triangolo $AND$ rispetto ad $AD$ è $1/4$ di quella del triangolo $ABC$.
Si vede anche ad occhio che $AD$ è un terzo di $AC$ ma non sono riuscito a dimostrarlo
Ci deve essere qualche teorema sulle mediane ...
Metto la mia soluzione domani. Ma ho solo usato $1/2$ base per altezza un sacco di volte, direi.
OK. In quanto segue se dico "XYZ=k" intendo che l'area del triangolo XYZ è k.
ABC=1
C'era un modo più breve?
Non credo di aver usato teoremi speciali sulle mediane.
ABC=1
C'era un modo più breve?
Non credo di aver usato teoremi speciali sulle mediane.
$MD$ mi mancava 
Grazie ghira, anche io non avevo tracciato $ MD $ , poi sul libro era riportato come suggerimento : osserva come $ AD~=1/3 AC $ ; ma al massimo potevo individuare quale fosse la metà di $ AC $ .
In un parallelogramma $ ABCD $ , sia $ M $ il punto medio di $ AB $ e $ N $ il punto in cui $ CM $ interseca la diagonale $ BD $ . Dimostra che l'area di $ AMND $ è $ 5/2 $ dell'area di $ BNC $.
(Suggerimento:può essere utile osservare che $ NC~=2MN $ .)
Questo esercizio è quasi identico al problema del triangolo e sono riuscito ad arrivare alla dimostrazione seguendo un modus operandi analogo a quello suggerito da ghira; anche qui dà questo suggerimento, dove un segmento può essere diviso in terzi, continuo a non capire come si può dimostrare questa congruenza.
(Suggerimento:può essere utile osservare che $ NC~=2MN $ .)
Questo esercizio è quasi identico al problema del triangolo e sono riuscito ad arrivare alla dimostrazione seguendo un modus operandi analogo a quello suggerito da ghira; anche qui dà questo suggerimento, dove un segmento può essere diviso in terzi, continuo a non capire come si può dimostrare questa congruenza.
Magari ci sono metodi migliori del "mio". Però, almeno funziona e non mi sembra _troppo_ contorto e lungo.
Probabilmente, come ho detto prima, esistono teoremi che dimostrano questo fatto.
E praticamente, una volta risolto il problema originale del thread, si è dimostrato che quella costruzione di mediane porta a suddividere il lato 1 vs 2 ovvero un teorema che puoi sfruttare poi.
E praticamente, una volta risolto il problema originale del thread, si è dimostrato che quella costruzione di mediane porta a suddividere il lato 1 vs 2 ovvero un teorema che puoi sfruttare poi.
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