Equivalenza tra tavole di verità

[Alin2]

Ho un dubbio:
questa formula $(P rArr Q) rArr P -=( not P vv Q) rArr P -= not( not P vv Q) vv P -= (P ^^ not Q) vv P$
Adesso mi chiedo: perchè è anche èquivalente a $P$
Io ho pensato che $ (P ^^ notQ) vv P -= P$ perchè hanno gli stessi valori di verità.
Dico bene? Grazie

[4131]

[tex](P\land Q)\lor P \equiv P[/tex]

è detta legge di assorbimento. Con [tex]\top[/tex] indico la proposizione vera,

[tex]\begin{align*}
P&\equiv P\land\top&&\\
&\equiv P\land(\top\lor Q)&&(\top\equiv \top\lor Q)\\
&\equiv (P\land\top)\lor(P\land Q)&& (\text{proprietà distributiva})\\
&\equiv P\lor (P\land Q)&&(P\equiv P\land\top)\\
&\equiv(P\land Q)\lor P&&(\text{proprietà commutativa})
\end{align*}[/tex]

Nel tuo caso [tex]P\equiv (P\land\neg Q)\lor P.[/tex]

[Alin2]

Grazie! Comincio a capire qualcosa!
Invece in questa formula
$ P vv^(*)(P rArr Q) -=P vv ( not P vv Q)-=$
$-=(P vv (not P vv Q) ^^(not P vv not (not P vv Q)) -=$
$-= not P vv ( P vv not Q$
A quest'ultima ci si arriva per assorbimento o idempotenza?
$vv^(*)$ si intende aut

[4131]

Non saprei, ci sono delle parentesi sbagliate... comunque...

[tex]\begin{align*}
P\lor(P\rightarrow Q)&\equiv P\lor(\neg P\lor Q)&& (P\rightarrow Q\equiv \neg P\lor Q)\\
&\equiv (P\lor \neg P)\lor Q&& (\text{prop. associativa})\\
&\equiv \top\lor Q&& (P\lor\neg P\equiv\top)\\
&\equiv \top&&( \top\lor Q\equiv\top)
\end{align*}[/tex]

La formula

[tex]\neg P \lor (P\lor \neg Q)\equiv \neg P\lor (\neg P\rightarrow \neg Q)[/tex]

ha la stessa identica struttura della prima con [tex]P\rightsquigarrow \neg P,Q\rightsquigarrow \neg Q[/tex], quindi

[tex]\neg P\lor (\neg P\rightarrow \neg Q)\equiv\top,[/tex]

da cui

[tex]P\lor(P\rightarrow Q)\equiv \neg P\lor (\neg P\rightarrow \neg Q).[/tex]

Che fosse una tautologia lo si vedeva a occhio: l'implicazione materiale è falsa solo quando l'antecedente ([tex]P[/tex]) è vero e il conseguente ([tex]Q[/tex]) è falso, e la disgiunzione è vera nel momento in cui (almeno) uno dei due operandi è vero, quindi quella formula è sempre vera.

[Alin2]

Ho sbagliato a scrivere!


$P∨^(⋅)(P⇒Q)≡P∨(¬P∨Q)≡$
$≡(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q))≡$
$≡¬P∨(P ^^¬Q)$
A quest'ultima, io ci sono arrivato con l'aiuto dei diagrammi di Venn e con le tavole di verità.
Infatti

$(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q))$ ha La stessa tavola di verità di
$¬P∨(P ^^¬Q)$
E questo si vede anche con i diagrammi di Venn
Come si può fare diversamente? Grazie

[4131]

Questa equivalenza logica è sbagliata

[tex]P\lor (\neg P\lor Q)\equiv (P\lor (\neg P\lor Q))\land(\neg P\lor \neg(\neg P\lor Q)).[/tex]

Questa invece è corretta

[tex](P\lor (\neg P\lor Q))\land(\neg P\lor \neg(\neg P\lor Q))\equiv (\neg P\lor \neg(\neg P\land Q))[/tex]

poiché

[tex]\begin{align*}
(P\lor (\neg P\lor Q))\land(\neg P\lor\neg(\neg P\lor Q))&\equiv \top\land(\neg P\lor\neg(\neg P\lor Q))\\
&\equiv \neg P\lor (\neg\neg P\land\neg Q)\\
&\equiv\neg P\lor (P\land\neg Q)
\end{align*}[/tex]

dove ho usato [tex]\neg\neg A\equiv A[/tex] e la legge di De Morgan

[tex]\neg(A\lor B)\equiv \neg A\land \neg B,[/tex]

ma [tex]\neg P\lor (P\land\neg Q)\not\equiv P\lor (\neg P\lor Q)[/tex].

Per controllare le tavole di verità puoi usare questo generatore di tavole di verità.

[Alin2]

Questa equivalenza logica è sbagliata

$P∨(¬P∨Q)≡(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q)).$
Ma se la $vv$ è un aut

$P∨^(*)(¬P∨Q)≡(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q)).$  dovrebbe essere giusta

Ti chiedo una cosa: come fai a dire che

$ (P∨(¬P∨Q)) ≡⊤$
Grazie mille

[axpgn]

"Alin":$ (P∨(¬P∨Q)) ≡⊤$

$ P vv ¬P $ è sempre vera perché se non è vera $P$ allora sarà vero il suo contrario, non possono essere false entrambe. E $ vv Q$ non aggiunge niente.

[4131]

"Alin":
Ti chiedo una cosa: come fai a dire che

$ (P∨(¬P∨Q)) ≡⊤$
Grazie mille

La disgiunzione [tex]\lor[/tex] è associativa

[tex]A\lor (B\lor C)\equiv (A\lor B)\lor C,[/tex]

la disgiunzione tra una proposizione e la sua negata è la verità (e.g. "[tex]7[/tex] è un numero naturale pari" o "[tex]7[/tex] non è un numero naturale pari")

[tex]A\lor \neg A\equiv \top,[/tex]

la disgiunzione tra la verità e una qualunque proposizione è la verità (e.g. "ogni numero naturale è non negativo" o "i numeri naturali primi sono in numero finito")

[tex]\top\lor A\equiv \top.[/tex]

[Alin2]

Grazie mille!