Equipotenza tra insiemi
Buonasera e tanti auguri a tutti 
Stavo pensando alla definizione di equipotenza tra insiemi.
Finchè due insieme sono finiti, la definizione calza a pennello.
Ma, cosa succede se i due insiemi in questione sono infiniti?
Prendiamo $N$ ed $R$. Sono entrambi insiemi infiniti ma $N \subset R$ da cui $R$ ha elementi che $N$ non ha.
Da questo sembrerebbe impossibile che $N$ possa essere equipotente a $R$ eppure pare non essere così o comunque è una convezione che lo siano (ci sarà qualche dimostrazione in studi futuri suppongo).
Però è molto strana come cosa. Da una parte la nozione di sottoinsieme fa sottointendere che i due insiemi non abbiano lo stesso numero di elementi, dall'altra , essendo infiniti, lo sono.
Per dirla molto terra terra: se prendo ogni numero che si trova in $N$ posso metterlo in corrispondenza con il corrispettivo di $R$ ... ma resterebbero "fuori" 0,1 0,01 0,001 ...
Oppure, sappiamo che in $R$ nell'intervallo $[0, 1]$ ci sono infiniti numeri mentre in $N$ no....
Chissà se, considerando gli intervalli, si potrebbe essere più "precisi"...
C'è qualcosa che mi sfugge? Magari ne sto mettendo su una discussione inutile ma nel caso darò colpa al post-pranzo natalizio
Stavo pensando alla definizione di equipotenza tra insiemi.
Finchè due insieme sono finiti, la definizione calza a pennello.
Ma, cosa succede se i due insiemi in questione sono infiniti?
Prendiamo $N$ ed $R$. Sono entrambi insiemi infiniti ma $N \subset R$ da cui $R$ ha elementi che $N$ non ha.
Da questo sembrerebbe impossibile che $N$ possa essere equipotente a $R$ eppure pare non essere così o comunque è una convezione che lo siano (ci sarà qualche dimostrazione in studi futuri suppongo).
Però è molto strana come cosa. Da una parte la nozione di sottoinsieme fa sottointendere che i due insiemi non abbiano lo stesso numero di elementi, dall'altra , essendo infiniti, lo sono.
Per dirla molto terra terra: se prendo ogni numero che si trova in $N$ posso metterlo in corrispondenza con il corrispettivo di $R$ ... ma resterebbero "fuori" 0,1 0,01 0,001 ...
Oppure, sappiamo che in $R$ nell'intervallo $[0, 1]$ ci sono infiniti numeri mentre in $N$ no....
Chissà se, considerando gli intervalli, si potrebbe essere più "precisi"...
C'è qualcosa che mi sfugge? Magari ne sto mettendo su una discussione inutile ma nel caso darò colpa al post-pranzo natalizio
Risposte
$NN$ e $RR$ sono entrambi infiniti, ma non sono equipotenti, sono infiniti diversi e quello di $RR$ è $\aleph_1$ che è più potente di quello di $NN$ che è $\aleph_0$.
$\aleph_0$ è una infinità numerabile, $\aleph_1$ è un infinito continuo. Per i dettagli ti consiglio
un semplice pdf del Centro Morin
oppure questo tutorial di Arrigo Amadori
$\aleph_0$ è una infinità numerabile, $\aleph_1$ è un infinito continuo. Per i dettagli ti consiglio
un semplice pdf del Centro Morin
oppure questo tutorial di Arrigo Amadori
Grazie @melia, intuitivamente mi sembrava strano che fossero trattati sullo stesso piano pur essendo infiniti. Leggerò quanto da te suggerito.
PS: Credo che nei libri del liceo non approfondiscano questo argomento. Non so se lo incontrerò più avanti.
PS: Credo che nei libri del liceo non approfondiscano questo argomento. Non so se lo incontrerò più avanti.
"DavidGnomo":
Sono entrambi insiemi infiniti ma $N \subset R$ da cui $R$ ha elementi che $N$ non ha.
Da questo sembrerebbe impossibile che $N$ possa essere equipotente a $R$
Vorrei sottolineare che questo passaggio è concettualmente errato quando si parla di equipotenza.
Anche l'insieme dei numeri razionali contiene i naturali, eppure i due insiemi sono equipotenti.
"@melia":
quello di $RR$ è $\aleph_1$
Quello di $RR$ è $2^{\aleph_0}$ ma questo potrebbe non essere $\aleph_1$. Questa è https://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo , no? (Ammetto che questa non è roba che conosco molto bene.)
Si.
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