Equazioni trigonometriche

[Sk_Anonymous]

1)Risolvere l'equazione:
sin(2x)+cos(2x)+sin(x)+cos(x)=-1

2)Risolvere,senza ricorrere a metodi
grafici o approssimati,la seguente equazione:
(1+cos(x))^4+(3+cos(x))^4=18

karl.

[fireball1]

1)sin(2x)+cos(2x)+sin(x)+cos(x)=-1
Applica le formule di duplicazione:
2*sin(x)*cos(x)+cos^2(x)-sin^2(x)+sin(x)+cos(x)+1=0
Tieni presente che sin^2(x)+cos^2(x)=1 e ordina:
sin^2(x)+cos^2(x)+cos^2(x)-sin^2(x)+2*sin(x)*cos(x)+sin(x)+cos(x)=0
2*cos^2(x)+2*sin(x)*cos(x)+sin(x)+cos(x)=0
Raccogli a fattor comune parziale:
cos(x)*[2*cos(x)+1]+sin(x)*[2*cos(x)+1]=0
[cos(x)+sin(x)]*[2*cos(x)+1]=0
Per la legge di annullamento del prodotto:
2*cos(x)+1=0
cos(x)=-1/2
x=2*/3+k* con k intero relativo (questa è una soluzione)
Inoltre:
cos(x)+sin(x)=0
Per risolvere questa poni sin(x)=y e cos(x)=x
Ottieni il sistema:
{x^2+y^2=1
{x+y=0
che è l'intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante
con la circonferenza goniometrica.
{x^2+y^2=1
{y=-x
Sostituisci nella prima:
2*x^2=1
x=(2)/2
Quindi
y= -+(2)/2
Ritornando a seno e coseno, si trova che la soluzione è:
-/4+k* con k intero relativo.
Le soluzioni sono quindi nel complesso due, e precisamente:
-/4+k* e 2*/3+k*

Modificato da - fireball il 29/01/2004 14:56:17

[fireball1]

2) Sviluppando il primo membro si ottiene:

2*cos^4(x) + 16*cos^3(x) + 60*cos^2(x) + 112*cos(x) + 82 = 18

Cioè:

2*cos^4(x) + 16*cos^3(x) + 60*cos^2(x) + 112*cos(x) + 64 = 0

Dividiamo tutto per 2:

cos^4(x) + 8*cos^3(x) + 30*cos^2(x) + 56*cos(x) + 32 = 0

Usa ora la regola di Ruffini per risolvere questa equazione.
Io ti dico il risultato finale, ma non il procedimento.
Le soluzioni sono 3:


x = ARCCOS(sqrt(sqrt(17) - 3) - 2) , x = ARCSIN(sqrt(sqrt(17) - 3) - 2) + 3*pi/2 ,
x = - ARCCOS(sqrt(sqrt(17) - 3) - 2)



Modificato da - fireball il 29/01/2004 15:30:35

[Sk_Anonymous]

Bene Fireball! Ero sicuro che avresti risposto tu data la tua
ormai nota passione (e conoscenza) per questi esercizi.
Sull'equazione sin(x)+cos(x)=0 si puo' (forse) semplificare il
procedimento osservando che essa non ammette la soluzione
cos(x)=0 altrimenti dovrebbe essere contemporaneamente
anche sin(x)=0.Si puo' quindi dividere per cos(x) ottenendo:
tg(x)+1=0---->tg(x)=-1 e quindi la soluzione:
x=-pg/4+k*pg (pg=p-greca) (come hai trovato tu).
Saluti da karl.

[fireball1]

citazione:

---

Si puo' quindi dividere per cos(x) ottenendo:
tg(x)+1=0---->tg(x)=-1

---

Ok karl, ma ricordati che devi sempre tenere conto del fatto che x dev'essere
diverso da +-pg/2 + k*pg quando dividi per cos(x).

Toglimi una curiosità: sei un professore? Uno studente universitario?

[Sk_Anonymous]

Sulla seconda equazione non mi trovo(almeno in parte) con
i risultati e col procedimento tuoi.Aspettiamo qualche altra risposta
e poi ci confronteremo meglio.
karl

[Sk_Anonymous]

Quando ho detto che cos(x) non poteva essere =0 volevo
significare proprio quello,cioe' x<> (-+)pg/2+2*k*pg!!
Quanto all'altra questione (professore od universitario)
che importa,alla fine ci si diverte un po' tutti.
karl.



Modificato da - karl il 29/01/2004 15:43:35

[fireball1]

citazione:

---

Quando ho detto che cos(x) non poteva essere =0 volevo
significare proprio quello,cioe' x<> (-+)pg/2+2*k*pg!!

---

Hai ragione! Non me ne ero accorto...

Scusami !

[Sk_Anonymous]

L'equazione di quarto grado si puo' risolvere senza
ricorrere a Ruffini (che non e' di grande aiuto nel caso
di mancanza di radici razionali).
Poniamo cos(x)=y-(1+3)/2=y-2
In questo modo si ha:
(y-1)^4+(y+1)^4=18
ovvero:2y^4+12y^2-16=0-->y^4+6y^2-8=0
Questa equazione ha solo due radici reali che sono:
y1=-sqrt(-3+sqrt(17))--->cosx1=-sqrt(-3+sqrt(17))-2
da scartare perche' <-1
y2=+sqrt(-3+sqrt(17))--->cosx1=sqrt(-3+sqrt(17))-2
accettabile perche in [-1,1].Da essa troviamo le soluzioni di x.
karl.