Equazioni, polinomi, funzioni...
Ciao a tutti,
spesso leggo questi tre termini che s'intrecciano; a volte ho letto che un polinomio può essere una funzione; anche le equazioni a volte mi pare di aver letto che sono delle funzioni, ma siccome sono tre termini diversi e certamente un polinomio è diverso da un'equazione, vorrei farmi un pò di chiarezza.
Allora, quello che ho capito io è che posso dire/scrivere che $y=f(x)$ intendendo che in un'operazione qualsiasi, ci sono due variabili e che la $y$ varia al variare di $x$; $x$ è la variabile indipendente (posso affibbiargli i valori che voglio) e $y$ è la variabile dpendente (da $x$).
Perciò mi verrebbe da dire che qualsiasi operazione che coinvolga due incognite, la posso chiamare funzione.
Per es. il polinomio: $3ax+4ay-5axy+8$ è una funzione (quindi qualsiasi polinomio a due incognite è una funzione).
Anche $3x+y=40$, che è un'equazione, è una funzione, perché al variare di $x$ varia anche $y$.
Perciò per entrambi, il polinomio e l'equazione che ho scritti sopra posso dire/scrivere che $y=f(x)$ (praticamente è un'informazione aggiuntiva che dò).
Scussatemi se sono andato un pò a braccio, come spesso mi accade.
Fucilatemi pure se ho scritto delle scemenze, le vostre pallottole saranno ben accette.
spesso leggo questi tre termini che s'intrecciano; a volte ho letto che un polinomio può essere una funzione; anche le equazioni a volte mi pare di aver letto che sono delle funzioni, ma siccome sono tre termini diversi e certamente un polinomio è diverso da un'equazione, vorrei farmi un pò di chiarezza.
Allora, quello che ho capito io è che posso dire/scrivere che $y=f(x)$ intendendo che in un'operazione qualsiasi, ci sono due variabili e che la $y$ varia al variare di $x$; $x$ è la variabile indipendente (posso affibbiargli i valori che voglio) e $y$ è la variabile dpendente (da $x$).
Perciò mi verrebbe da dire che qualsiasi operazione che coinvolga due incognite, la posso chiamare funzione.
Per es. il polinomio: $3ax+4ay-5axy+8$ è una funzione (quindi qualsiasi polinomio a due incognite è una funzione).
Anche $3x+y=40$, che è un'equazione, è una funzione, perché al variare di $x$ varia anche $y$.
Perciò per entrambi, il polinomio e l'equazione che ho scritti sopra posso dire/scrivere che $y=f(x)$ (praticamente è un'informazione aggiuntiva che dò).
Scussatemi se sono andato un pò a braccio, come spesso mi accade.
Fucilatemi pure se ho scritto delle scemenze, le vostre pallottole saranno ben accette.
Risposte
Detta in soldoni, si definisce $y=f(x)$ una qualunque legge che associ ad ogni x una ed una sola y. Questa è una definizione tutt'altro che rigorosa (il linguaggio è improprio) ma comunque ti fa capire che non tutte le equazioni in cui compaiono sia la x che la y sono funzioni.
$y-x^2=0$ è una funzione mentre $y^2-x=0$ non lo è. Capisci perchè?
$y-x^2=0$ è una funzione mentre $y^2-x=0$ non lo è. Capisci perchè?
"Albert Wesker 27":
Detta in soldoni, si definisce $y=f(x)$ una qualunque legge che associ ad ogni x una ed una sola y. Questa è una definizione tutt'altro che rigorosa (il linguaggio è improprio) ma comunque ti fa capire che non tutte le equazioni in cui compaiono sia la x che la y sono funzioni.
$y-x^2=0$ è una funzione mentre $y^2-x=0$ non lo è. Capisci perchè?
Allora, se io nella prima equazione dò un valore arbitrario alla $x$, per es. $x=3$, $y$ è per forza $9$, mentre per es. se $x=4$, $y=16$ ecc.
Nella seconda invece è la $y$ ad essere maggiore, quindi per es. se $y=5$, $x=25$, ma questa volta è la $y$ a dettare legge, perché qua tu mi hai imposto $y$ come maggiore di $x$.
Se invece io impongo che $x$ nella seconda equazione sia un numero, per es. $21$, non esiste una $y$ che al quadrato dia $21$, mmm... quindi non c'è qua effettivamente la legge matematica che tu dicevi...
Quindi, la prima equazione è $y=f(x)$, mentre la seconda no, però potrei scrivere che è $x=f(y)$, (invertendo cioè variabile dipendente e indipendente).
Quindi mi pare che prima di tutto devo stabilire qual'è la variabile dipendente e quella dipendente e poi posso dire quale è funzione di quale.
E sui polinomi funzioni che mi dici? Potresti farmi un esempio di un polinomio che è funzione ed uno che non lo è?
Scusa se ti sto chiedendo troppo, comunque grazie che sei stato gentilissimo.
Di niente figuarti!
Però non è questione di $y$ o $x$ più "grosse" o più "piccole". Per vedere se è una funzione del tipo $y=f(x)$, devi vedere se ad una $x$ corrisponde una e una sola $y$.
Prendi la funzione $y=x^2$. Vedi come assegnando un valore alla $x$, ne ottieni uno e solo uno della $y$ (nota che ad una stessa $y$ in questo caso puoi associare due $x$ uguali e opposte fra di loro, ma ciò non è assolutamente un problema).
Se invece prendi l'equazione $y^2=x$ ed espliciti la y, ottieni $y=\pmsqrt(x)$ quindi ad un valore di $x$ corrispondono due diverse $y$. Per esmpio, se $x=3$, $y=\pmsqrt(3)$ e quindi la $y$ non è univocamente determinata conoscendo la $x$. Ecco allora che $y^2=x$ non è, per definizione, una funzione del tipo $y=f(x)$.
Però non è questione di $y$ o $x$ più "grosse" o più "piccole". Per vedere se è una funzione del tipo $y=f(x)$, devi vedere se ad una $x$ corrisponde una e una sola $y$.
Prendi la funzione $y=x^2$. Vedi come assegnando un valore alla $x$, ne ottieni uno e solo uno della $y$ (nota che ad una stessa $y$ in questo caso puoi associare due $x$ uguali e opposte fra di loro, ma ciò non è assolutamente un problema).
Se invece prendi l'equazione $y^2=x$ ed espliciti la y, ottieni $y=\pmsqrt(x)$ quindi ad un valore di $x$ corrispondono due diverse $y$. Per esmpio, se $x=3$, $y=\pmsqrt(3)$ e quindi la $y$ non è univocamente determinata conoscendo la $x$. Ecco allora che $y^2=x$ non è, per definizione, una funzione del tipo $y=f(x)$.
OK, dovrò rifletterci un pò su.
Grazie mille, sei stato prezioso Albert.
Grazie mille, sei stato prezioso Albert.
Di niente!
Un ultimo suggerimento: se te vedi la rappresentazione grafica di un'equazione capisci subito se essa è una funzione del tipo $y=f(x)$: basta verificare che ogni retta del tipo $x=x_0$ (retta verticale) tocchi in al massimo un punto il grafico della curva che è l'interpretazione grafica del "ad ogni x deve corrispondere al massimo una y".
Se hai un qualsiasi dubbio, digita pure
Un ultimo suggerimento: se te vedi la rappresentazione grafica di un'equazione capisci subito se essa è una funzione del tipo $y=f(x)$: basta verificare che ogni retta del tipo $x=x_0$ (retta verticale) tocchi in al massimo un punto il grafico della curva che è l'interpretazione grafica del "ad ogni x deve corrispondere al massimo una y".
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