Equazioni parametriche es.6
Determina per quali valori del parametro le seguenti equazioni hanno radici reciproche e verifica quanto ottenuto.
$ x^2-2(a+1)x+a^2+2a=0 $
Si parte da $ x_1=1/x_2 $ che poi si tratta di $ x_1*x_2=1$ quindi $ c/a=1 $ ma sapete che non sto riuscendo ad individuare la $ c $ ?
$ x^2-2(a+1)x+a^2+2a=0 $
Si parte da $ x_1=1/x_2 $ che poi si tratta di $ x_1*x_2=1$ quindi $ c/a=1 $ ma sapete che non sto riuscendo ad individuare la $ c $ ?
Risposte
Per questa invece il risultato è Nessun valore di m
$ 3x^2-(m-1)x+(m-1)=0 $
Bene se
$ m-1=3 $
$ m=4 $
perchè dice che Nessun valore di m
$ 3x^2-(m-1)x+(m-1)=0 $
Bene se
$ m-1=3 $
$ m=4 $
perchè dice che Nessun valore di m
Allora procediamo con ordine.
La prima equazione postata è:
$ x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = 0$
Si richiede per quali valori del parametro ($a$) le radici dell'equazione risultano reciproche.
Hai scritto che:
Mi sembra che hai iniziato correttamente. A questo punto non devi fare altro che sostituire opportunamente $c$ ed $a$. Per non creare confusione chiamo il parametro invece che con $a$ con la lettera $k$ e di consguenza l'equazione è
$ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k = 0$
Per individuare il termine $c$ dell'equazione non devi fare altro che riflettere sul suo significato. In altre parole, data l'equazione generica di secondo grado:
$ax^2 + bx + c = 0$
si ha che:
- $a$ è il coefficiente del termine quadratico;
-$b$ è il coefficiente del termine lineare;
- $c$ è il cosiddetto termine noto.
Nel caso della tua equazione devi individuare il termine noto $c$. A questo punto vediamo se lo riesci ad individuare (ricorda che l'incognita dell'equazione è sempre $x$, mentre $k$ è un parametro). Anzi per completezza potresti scrivere chi sono anche $a$, $b$ nella tua equazione.
La prima equazione postata è:
$ x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = 0$
Si richiede per quali valori del parametro ($a$) le radici dell'equazione risultano reciproche.
Hai scritto che:
"Bad90":
Si parte da $x_1=1/x_2$ che poi si tratta di $x_1* x_2=1$ quindi $c/a=1$ ma sapete che non sto riuscendo ad individuare la $c$ ?
Mi sembra che hai iniziato correttamente. A questo punto non devi fare altro che sostituire opportunamente $c$ ed $a$. Per non creare confusione chiamo il parametro invece che con $a$ con la lettera $k$ e di consguenza l'equazione è
$ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k = 0$
Per individuare il termine $c$ dell'equazione non devi fare altro che riflettere sul suo significato. In altre parole, data l'equazione generica di secondo grado:
$ax^2 + bx + c = 0$
si ha che:
- $a$ è il coefficiente del termine quadratico;
-$b$ è il coefficiente del termine lineare;
- $c$ è il cosiddetto termine noto.
Nel caso della tua equazione devi individuare il termine noto $c$. A questo punto vediamo se lo riesci ad individuare (ricorda che l'incognita dell'equazione è sempre $x$, mentre $k$ è un parametro). Anzi per completezza potresti scrivere chi sono anche $a$, $b$ nella tua equazione.
"JoJo_90":
$ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k = 0$
- $a$ è il coefficiente del termine quadratico;
-$b$ è il coefficiente del termine lineare;
- $c$ è il cosiddetto termine noto.
Nel caso della tua equazione devi individuare il termine noto $c$. A questo punto vediamo se lo riesci ad individuare (ricorda che l'incognita dell'equazione è sempre $x$, mentre $k$ è un parametro). Anzi per completezza potresti scrivere chi sono anche $a$, $b$ nella tua equazione.
Allora
$ c=k^2 + 2k $
$ c=k(k + 2) $
Mentre
$ a=1 $
ed infine
$ b=-2(k+1) $
Giusto?
Giusto.
A questo punto basta procedere con i conti.
A questo punto basta procedere con i conti.
"JoJo_90":
Giusto.
A questo punto basta procedere con i conti.
Allora sarà:
$ (k(k+2))/1=1 $
E quà che mi perdo!
$ k(k+2)=1 $
$ k=1/(k+2) $
Ma il testo mi dice $ k=-1+-sqrt(2) $
Dove sto commettendo orrori?
Allora con calma. Quando arrivi qui:
$k(k+2) = 1$
non è necessario fare l'altro passaggio che hai scritto; quella che hai ottenuto che cos'è? Se così non ti è chiaro prova a svolgere il prodotto e poi vedi se ti ritovi con qualcosa di familiare
.
$k(k+2) = 1$
non è necessario fare l'altro passaggio che hai scritto; quella che hai ottenuto che cos'è? Se così non ti è chiaro prova a svolgere il prodotto e poi vedi se ti ritovi con qualcosa di familiare
.
Scusami ma non sto capendo come fare!
Non ti preoccupare.
Allora quello che intendevo era effettuare il prodotto in $k(k+2) = 1$. Svolgendolo ottieni $k^2 + 2k = 1$.
In realtà, ai fini dell'esercizio, non era necessario mettere in evidenza il parametro; bastava infatti lasciare che $c = k^2 +2k$.
Ora, portanto a primo membro l'$1$ ciò che ottieni è una equazione di secondo grado. Risolvendola troverai quei valori del parametro $k$ che soddisfano la condizione richiesta dall'esercizio, e cioè $x_1 * x_2 = 1$.
Se non è chiaro dillo pure.
Allora quello che intendevo era effettuare il prodotto in $k(k+2) = 1$. Svolgendolo ottieni $k^2 + 2k = 1$.
In realtà, ai fini dell'esercizio, non era necessario mettere in evidenza il parametro; bastava infatti lasciare che $c = k^2 +2k$.
Ora, portanto a primo membro l'$1$ ciò che ottieni è una equazione di secondo grado. Risolvendola troverai quei valori del parametro $k$ che soddisfano la condizione richiesta dall'esercizio, e cioè $x_1 * x_2 = 1$.
Se non è chiaro dillo pure.
Adesso ho capito! Grazie mille amico mio.
Prego.
A questo punto puoi passare se vuoi all'altra equazione, cioè la seconda che hai postato (quella nella quale ti dice "Nessun valore di m").
Il procedimento è analogo a questa appena svolta; il tutto sta nel verificare il valore di $m$ una volta trovato.
A questo punto puoi passare se vuoi all'altra equazione, cioè la seconda che hai postato (quella nella quale ti dice "Nessun valore di m").
Il procedimento è analogo a questa appena svolta; il tutto sta nel verificare il valore di $m$ una volta trovato.
Ma in quella equazione si ha:
$ (m-1)=3 $
Come dovrei utilizzare lo stesso metodo?
$ (m-1)=3 $
Come dovrei utilizzare lo stesso metodo?
Giusto il valore che hai ottenuto, ma se lo sostituisci nell'equazione di partenza ottieni $3x^2-3x+3=0$ che ha il $Delta<0$. Quindi non esistono soluzioni reali.
In realtà non parlarei di "metodo", ma qui si tratta di capire il procedimento da seguire per risolvere l'esercizio.
In questo tipo di esercizi, in cui ti vengono date delle equazioni parametriche, ti viene richiesto per quali valori del parametro si realizza una certa condizione sulle radici dell'equazione.
Nel nostro caso l'equazione è:
$3x^2 - (m-1)x + (m-1) = 0 $
Una piccola nota: le parentesi nell'ultimo termine non sono necessarie; forse il testo vuole evidenziare che tutta la parentesi contiene il termine $c$.
La condizione è
$x_1 * x_ 2 = c/a = 1$
Quindi procedi sostituendo $c$ ed $a$ e ricavi che $m=4$. A questo punto non possiamo ancora dire che per $m=4$ si verifica la condizione data e cioè che le radici sono una la reciproca dell'altra (e questo vale anche per l'equazione precedente). Ma perchè non posso affermare ciò? Perchè potrebbe accadere che il valore del parametro che ho ricavato mi rende impossibile l'equazione; quindi se è così le radici non esistono e quindi non è possibile soddisfare la condizione richiesta di reciprocità.
Trovato il parametro allora è necessario effettuare la verifica.
Quindi, sostituendo il valore del parametro, l'equazione diventa:
$3x^2 - 3x + 3 = 0 $
Che conduce a
$x_(1,2) = (3 \pm sqrt (9 - 36)) / 6 $
Notando che $Delta < 0$, cnocludi che, nel campo dei Reali, l'equazione non ammette soluzioni, ovvero è impossibile, ovvero non esistono $x_1$ e $x_2$. Quindi se le radici non esistono, non potrà mai verificarsi che $x_1 * x_2 = 1$.
Conclusione: Non esiste un valore del parametro per cui si verifica che le radici sono una la reciproca dell'altra, infatti hai visto che affinchè sia soddisfatta tale condizione, deve essere $m=4$; ma se $m=4$ non esistono $x_1$ e $x_2$, quindi è impossibile soddisfare la condizione di reciprocità delle radici.
In questo tipo di esercizi, in cui ti vengono date delle equazioni parametriche, ti viene richiesto per quali valori del parametro si realizza una certa condizione sulle radici dell'equazione.
Nel nostro caso l'equazione è:
$3x^2 - (m-1)x + (m-1) = 0 $
Una piccola nota: le parentesi nell'ultimo termine non sono necessarie; forse il testo vuole evidenziare che tutta la parentesi contiene il termine $c$.
La condizione è
$x_1 * x_ 2 = c/a = 1$
Quindi procedi sostituendo $c$ ed $a$ e ricavi che $m=4$. A questo punto non possiamo ancora dire che per $m=4$ si verifica la condizione data e cioè che le radici sono una la reciproca dell'altra (e questo vale anche per l'equazione precedente). Ma perchè non posso affermare ciò? Perchè potrebbe accadere che il valore del parametro che ho ricavato mi rende impossibile l'equazione; quindi se è così le radici non esistono e quindi non è possibile soddisfare la condizione richiesta di reciprocità.
Trovato il parametro allora è necessario effettuare la verifica.
Quindi, sostituendo il valore del parametro, l'equazione diventa:
$3x^2 - 3x + 3 = 0 $
Che conduce a
$x_(1,2) = (3 \pm sqrt (9 - 36)) / 6 $
Notando che $Delta < 0$, cnocludi che, nel campo dei Reali, l'equazione non ammette soluzioni, ovvero è impossibile, ovvero non esistono $x_1$ e $x_2$. Quindi se le radici non esistono, non potrà mai verificarsi che $x_1 * x_2 = 1$.
Conclusione: Non esiste un valore del parametro per cui si verifica che le radici sono una la reciproca dell'altra, infatti hai visto che affinchè sia soddisfatta tale condizione, deve essere $m=4$; ma se $m=4$ non esistono $x_1$ e $x_2$, quindi è impossibile soddisfare la condizione di reciprocità delle radici.
Perfetto allora finalmente ho capito che spesso si deve utilizzare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Erano gli ultimi esercizi del capitolo che non avevo compreso bene, adesso procedo con gli altri argomenti. Grazie mille
Prego .
.
Anche questa è impossibile:
$ mx^2+(m-4)+m+1=0 $
Ho ricavato la $ m=4/3 $ ho sostituito il valore alla $ m $ ed ho ricavato il $ Delta<0$, quindi è impossibile!
Grazieeeeeeeeeee
$ mx^2+(m-4)+m+1=0 $
Ho ricavato la $ m=4/3 $ ho sostituito il valore alla $ m $ ed ho ricavato il $ Delta<0$, quindi è impossibile!
Grazieeeeeeeeeee
Penso di aver intuito correttamente anche questa equazione parametrica, con traccia:
Determina per quale valore del parametro il prodotto delle radici della seguente equazioni è uguale al numero indicato a fianco. Verifica poi il risultato ottenuto.
$ x^2+2px+p^2-3p+12=0 $ valore di $ p=10 $
Comincio a lavorare su questa:
$ x^2+2px+p^2 $
Sostituisco il valore $ 10 $ ad $ p $ e verifico subito il $ Delta=0 $ . Fatto questo non serve nemmeno proseguire perchè essendo $ Delta=0 $ non esiste nessun valore di $ p $ che ammette soluzioni in $ R $ . In questo caso, la parte dell'equazione iniziale $ ......-3p+12 $ non serve perchè basta il quadrato del binomio $ (x+p)^2 $ per verificare la condizione!
Va bene così?
Determina per quale valore del parametro il prodotto delle radici della seguente equazioni è uguale al numero indicato a fianco. Verifica poi il risultato ottenuto.
$ x^2+2px+p^2-3p+12=0 $ valore di $ p=10 $
Comincio a lavorare su questa:
$ x^2+2px+p^2 $
Sostituisco il valore $ 10 $ ad $ p $ e verifico subito il $ Delta=0 $ . Fatto questo non serve nemmeno proseguire perchè essendo $ Delta=0 $ non esiste nessun valore di $ p $ che ammette soluzioni in $ R $ . In questo caso, la parte dell'equazione iniziale $ ......-3p+12 $ non serve perchè basta il quadrato del binomio $ (x+p)^2 $ per verificare la condizione!
Va bene così?
No: sostituici ovunque e trovi l'equazione $x^2+20x+82=0$ che ha $Delta>0$. Se vuoi usare il quadrato che hai visto puoi scrivere l'equazione così:
$(x+p)^2=3p-12$
e poi notare che per $p=10$ il secondo membro è positivo e quindi l'equazione è risolubile.
Se, in un altro esercizio, trovassi davvero $Delta=0$ le soluzioni ci sarebbero e sarebbero uguali fra loro. E' solo con $Delta<0$ che non ci sono o, più precisamente, che non sono reali.
$(x+p)^2=3p-12$
e poi notare che per $p=10$ il secondo membro è positivo e quindi l'equazione è risolubile.
Se, in un altro esercizio, trovassi davvero $Delta=0$ le soluzioni ci sarebbero e sarebbero uguali fra loro. E' solo con $Delta<0$ che non ci sono o, più precisamente, che non sono reali.
"giammaria":
No: sostituici ovunque e trovi l'equazione $x^2+20x+82=0$ che ha $Delta>0$. Se vuoi usare il quadrato che hai visto puoi scrivere l'equazione così:
$(x+p)^2=3p-12$
e poi notare che per $p=10$ il secondo membro è positivo e quindi l'equazione è risolubile.
Se, in un altro esercizio, trovassi davvero $Delta=0$ le soluzioni ci sarebbero e sarebbero uguali fra loro. E' solo con $Delta<0$ che non ci sono o, più precisamente, che non sono reali.
Ok, ma il testo mi dà il seguente risultato:
Per nessun valore di p
Ho fatto come dici tu, effettivamente per $ x2+20x+82=0 $ si ha $ Δ>0 $ precisamente $ Δ=72 $ Proseguo con la relazione $ c/a=10 $
Ma se adesso ho una equazione in cui la $ p $ non compare più perchè è stata sostituito con il valore $ 10 $ come faccio a dare la condizione di $ p $
Sinceramente sto trovando difficoltà ad individuare la $ p $ nell'equazione di partenza $ x^2+2px+p^2-3p+12=0 $ ho la stessa difficolta nell'individuare la $ a $ la $ b $ e la $ c $
Accipicchia](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ma se adesso ho una equazione in cui la $ p $ non compare più perchè è stata sostituito con il valore $ 10 $ come faccio a dare la condizione di $ p $
Sinceramente sto trovando difficoltà ad individuare la $ p $ nell'equazione di partenza $ x^2+2px+p^2-3p+12=0 $ ho la stessa difficolta nell'individuare la $ a $ la $ b $ e la $ c $
Accipicchia
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