Equazioni parametriche es.6
Determina per quali valori del parametro le seguenti equazioni hanno radici reciproche e verifica quanto ottenuto.
$ x^2-2(a+1)x+a^2+2a=0 $
Si parte da $ x_1=1/x_2 $ che poi si tratta di $ x_1*x_2=1$ quindi $ c/a=1 $ ma sapete che non sto riuscendo ad individuare la $ c $ ?
$ x^2-2(a+1)x+a^2+2a=0 $
Si parte da $ x_1=1/x_2 $ che poi si tratta di $ x_1*x_2=1$ quindi $ c/a=1 $ ma sapete che non sto riuscendo ad individuare la $ c $ ?
Risposte
Ho capito; c'è stato un equivoco. Il testo usa p in due significati: come parametro dell'equazione e, a fianco, per dire "prodotto=10"; non significa che il parametro p valga 10. Appurato questo, prosegui tu.
Ma scusa perchè $x^2+2px+p^2$? Dovresti iniziare a imporre la condizione $c/a=10$ e risolvere l'equazione.
"giammaria":
Ho capito; c'è stato un equivoco. Il testo usa p in due significati: come parametro dell'equazione e, a fianco, per dire "prodotto=10"; non significa che il parametro p valga 10. Appurato questo, prosegui tu.
Sto cercando di continuare, ma ancora non sto riuscendo ad individuare la $ c $ e la $ a $
Ma dite che si può pensare così?
$ (x+p)^2-3p+12=0 $
$ a=(x+p)^2 $
$ b=-3p $
$ c=12 $
Dite che ho intuito correttamente?
HELP!!!!
No: per definizione $a$ è il coefficiente di $x^2$, $b$ quello di $x$ e $c$ il termine noto: quindi $a=1, b=2p, c= p^2-3p+12$. Il tuo ragionamento può servire a risolvere l'equazione ma poi ti è difficile imporre che il prodotto delle soluzioni sia 10.
"Bad90":
Sinceramente sto trovando difficoltà ad individuare la $p$ nell'equazione di partenza $x^2+2px+p^2−3p+12=0$ ho la stessa difficolta nell'individuare la $a$ la $b$ e la $c$
Mi sento di darti lo stesso consiglio di ieri: la $a$ è il coefficiente che moltiplica la $x^2$; la $b$ è il coefficiente che moltiplica la $x$ e infine la $c$ è un termine noto. Ricorda che $p$ è un parametro e non un incognita (che è invece $x$).
"Bad90":
Sto cercando di continuare, ma ancora non sto riuscendo ad individuare la $c$ e la $a$
Ma dite che si può pensare così?
$(x+p)^2−3p+12=0$
$a=(x+p)^2$
$b=−3p$
$c=12$
Dite che ho intuito correttamente?
Uhm...non tanto. La $a$ come ho già detto, è il coefficiente che moltiplica la $x^2$; la $a$ per come l'hai scritta tu non è quindi corretta perchè "contiene" la $x$ ma non la moltiplica.
Infine io ti consiglierei di lasciare l'equazione così com'è, senza cioè raccogliere i termini nel quadrato del binomio $(x+p)^2$.
Riprova tenendo in considerazione quanto ho scritto e se non riesci ne parliamo.
P.S. Non avevo visto che giammaria aveva risposto (presumibilmente ha risposto mentre io scrivevo). Quindi dimentica tuto quello che ti ho scritto in quanto la risposta di giammaria dice tutto.
"giammaria":
No: per definizione $a$ è il coefficiente di $x^2$, $b$ quello di $x$ e $c$ il termine noto: quindi $a=1, b=2p, c= p^2-3p+12$. Il tuo ragionamento può servire a risolvere l'equazione ma poi ti è difficile imporre che il prodotto delle soluzioni sia 10.
Ok, ti ringrazio, mi stava rendendo confusione quel quadrato di un binomio. Adesso provo a risolverla. Quindi per ricavare la $ c $ ho dovuto risolvere singolarmente la $ p^2-3p+12 $ utilizzando la $ Delta $ ma il risultato che mi viene è per $ Delta<0 $ quindi è per Nessun valore di p Secondo me non serve continuare a, questo basta per dire che la $ c $ $ <0 $ e quindi in $ R $ non è possibile!
Niente, ancora non sono riuscito a risolverla, adesso sto cercando lo spigolo giusto in casa per ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Scrivi i passaggi che fai così vediamo dove trovi difficoltà e dove è presente l'errore.
"JoJo_90":
Scrivi i passaggi che fai così vediamo dove trovi difficoltà e dove è presente l'errore.
Allora..... Dalla richiesta dell'esercizio segue:
$ c/a=10 $
$ 12/(x^2+2px+p^2)=10 $
$ 12=10*(x^2+2px+p^2) $
$ 12=10x^2+20px+10p^2 $
Questa è una delle prove che ho fatto.... ma non penso sia quella giusta
Comunque in alternativa ho fatto: $ 12/(x^2+2px+p^2)=10 $
Ho verificato il $ Delta<0 $ della $ x^2+2px+p^2 $ è quindi ho pensato che fosse impossibile per ogni valore di $ p $
Le sostituzioni di $c$ ed $a$ sono sbagliate. Se rileggi quanto scritto da giammaria te ne accorgi; infatti aveva scritto che:
In base a questo quindi avrai:
$c/a = (p^2-3p +12) / 1 = 10 $
Risolvi quindi l'equazione che ne viene fuori, ovvero $ p^2 - 3p + 2 = 0$.
"giammaria":
No: per definizione $a$ è il coefficiente di $x^2$, $b$ quello di $x$ e $c$ il termine noto: quindi $a=1, b=2p, c= p^2-3p+12$.
In base a questo quindi avrai:
$c/a = (p^2-3p +12) / 1 = 10 $
Risolvi quindi l'equazione che ne viene fuori, ovvero $ p^2 - 3p + 2 = 0$.
Scusa il valore di $c$ è $p^2-3p+12$, il valore di $a$ è $1$. Il problema ti chiede per quali valori di $p$ il prodotto delle radici $x_1$ e $x_2$ vale $10$. Quindi dalla relazione $c/a=10$ ottieni che $(p^2-3p+12)/1=10$. Difficile risolvere tale equazione di secondo grado? Provaci.
"anonymous_c5d2a1":
Scusa il valore di $c$ è $p^2-3p+12$, il valore di $a$ è $1$. Il problema ti chiede per quali valori di $p$ il prodotto delle radici $x_1$ e $x_2$ vale $10$. Quindi dalla relazione $c/a=10$ ottieni che $(p^2-3p+12)/1=10$. Difficile risolvere tale equazione di secondo grado? Provaci.
No, non è difficile, adesso la risolvo,
Ma se ricavo la $ Delta $ che in questo caso è $ Delta=9-48=-39 $ in $ R $ non è possibile, quindi....
Altrimenti devo fare così:
$ p^2-3p+12=10 $
$ p^2-3p+12-10=0 $
$ p^2-3p+2=0 $
e poi procedo con il risolverla.
$ Delta=9-8=1 $
essendo $ Delta>0 $
Ricavo la $ x_12 $
Ovviamente sarà:
$ x_12=(3+-1)/(2) $
$ x_1=2 $
$ x_2=1 $
Quindi?!
Il primo modo in cui hai ricavato il $Delta$ non è corretto in quanto non è corretta l'equazione cui fai riferimento. Nell'equazione devi avere a secondo membro sempre zero e portare tutto a primo membro. Facendo questa operazione ti ritrovi con l'equazione
$p^2 - 3p + 2 = 0$
che è quella che hai ricavato e risolto. Le soluzioni di questa equazione sono $p_1$ e $p_2$ e non $x_1$ e $x_2$ (in questo caso infatti il parametro $p$ è l'incognita).
Fatto questo provi a sostituire i valori ottenuti di $p_1$ e $p_2$ all'equazione di partenza e vedi che succede. Se diventa impossibile allora non esiste un valore del parametro $p$ che soddisfi la condizione data; in caso contrario si verificherà che il parametro è quello che ti fa verificare la condizione.
$p^2 - 3p + 2 = 0$
che è quella che hai ricavato e risolto. Le soluzioni di questa equazione sono $p_1$ e $p_2$ e non $x_1$ e $x_2$ (in questo caso infatti il parametro $p$ è l'incognita).
Fatto questo provi a sostituire i valori ottenuti di $p_1$ e $p_2$ all'equazione di partenza e vedi che succede. Se diventa impossibile allora non esiste un valore del parametro $p$ che soddisfi la condizione data; in caso contrario si verificherà che il parametro è quello che ti fa verificare la condizione.
"JoJo_90":
Il primo modo in cui hai ricavato il $Delta$ non è corretto in quanto non è corretta l'equazione cui fai riferimento. Nell'equazione devi avere a secondo membro sempre zero e portare tutto a primo membro. Facendo questa operazione ti ritrovi con l'equazione
$p^2 - 3p + 2 = 0$
che è quella che hai ricavato e risolto. Le soluzioni di questa equazione sono $p_1$ e $p_2$ e non $x_1$ e $x_2$ (in questo caso infatti il parametro $p$ è l'incognita).
Fatto questo provi a sostituire i valori ottenuti di $p_1$ e $p_2$ all'equazione di partenza e vedi che succede. Se diventa impossibile allora non esiste un valore del parametro $p$ che soddisfi la condizione data; in caso contrario si verificherà che il parametro è quello che ti fa verificare la condizione.
Allora, ho sostituito i parametri nell'equazione di partenza:
$ x^2+2px+p^2-3p+12=0 $
Utilizzando la $ p_1=2 $ ho ottenuto come risultato un $ Delta<0 $ precisamente $ Delta=-24 $ quindi non è possibile in $ R $
Per il secondo caso, ho ottenuto un $ Delta<0 $ precisamente $ Delta=-36 $ quindi non è possibile in $ R $
Dici che ho compreso bene?
Si, i risultati mi sembrano corretti.
"JoJo_90":
Si, i risultati mi sembrano corretti.
Ti ringrazio per avermi aiutato a ragionare!
Grazie mille!
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