Equazioni parametriche

[Mike891]

il quesito è questo:

Per quanti valori del parametro reale "a" le equazioni

$x^3+a*x+2=0$

e

$x^3+x+2*a=0$

hanno almeno una radice reale "x" in comune?

il procedimento che ho seguito è questo:

$x^3+a*x+2=x^3+x+2*a$

$a*x-x=2*a-2$

$x(a-1)=2(a-1)$

$x=2(a-1)/(a-1)$

così ho trovato la radice x in comune..però non conosco i valori di a..so solo che $a!=1$ altrimenti perderebbe significato..potete aiutarmi?

[Boris1]

il procedimento è impostato bene, però attenzione a ciò che chiedi ai calcoli quando li imposti: quando eguagli le due espressioni ti stai chiedendo per quali valori di $a$ esse sono sempre uguali. per $a=1$ non perde significato il denominatore, perchè dovresti fermarti un passo prima a guardare $x(a-1)=2(a-1)$, che si riduce ad un'identità. quindi per $a=1$ le due espressioni coincidono e hanno almeno una radice reale in comune (le altre due sono complesse). continuando a svolgere i calcoli e semplificando ad ambo i membri $a-1$ ottieni che le due espressioni, per ogni altro valore di $a$, coincidono quando $x=2$. Sostituendo nelle due espressioni iniziali osservi però che tale valore è radice di entrambe le equazioni solo quando è $a=-5$. E con ciò credo che l'esercizio sia terminato

[Mike891]

quindi i valori di $a$ sono due..grazie mille per l'aiuto