Equazioni parametriche
ho dei problemi con le equazioni parametriche:
alcune equazioni mi richiedono per quali valori del parametro si hanno i sguenti casi:
x1=-x2
x1=2
una radice=3
la somma dei reciprochi delle radici=4
una radice=2
una sola radice
potete illustrare tu tti i casi?
perfavore anche la differenze radici
radici una tripla dell'altra
alcune equazioni mi richiedono per quali valori del parametro si hanno i sguenti casi:
x1=-x2
x1=2
una radice=3
la somma dei reciprochi delle radici=4
una radice=2
una sola radice
potete illustrare tu tti i casi?
perfavore anche la differenze radici
radici una tripla dell'altra
Risposte
tu fino a ke punto sei arrivato nell'impostazione del/i problema/i?
questi sono i casi di + equazioni, dove gli altri casi che richiedeva li ho risolti ma di
questi nn ne ho la più pallida idea
questi nn ne ho la più pallida idea
Se un'equazione presenta un parametro allora le sue soluzioni saranno una "funzione" del parametro.
Per sesempio, se si deve risolvere l'equazione $x^2 - 3kx + 2=0$ le radici sono $x_1=\frac{3k+\sqrt{9k^2 - 8}}{2}$ e $x_2=\frac{3k-\sqrt{9k^2 - 8}}{2}$.
Trovate le radici in forma parametrica puoi farci quello che vuoi.
Per sempio, con le radici di cui sopra, richiedere che sia $x_1=-x_2$ diventa impostare la seguente equazione $\frac{3k+\sqrt{9k^2 - 8}}{2} = \frac{-3k+\sqrt{9k^2 - 8}}{2}$.
Per sesempio, se si deve risolvere l'equazione $x^2 - 3kx + 2=0$ le radici sono $x_1=\frac{3k+\sqrt{9k^2 - 8}}{2}$ e $x_2=\frac{3k-\sqrt{9k^2 - 8}}{2}$.
Trovate le radici in forma parametrica puoi farci quello che vuoi.
Per sempio, con le radici di cui sopra, richiedere che sia $x_1=-x_2$ diventa impostare la seguente equazione $\frac{3k+\sqrt{9k^2 - 8}}{2} = \frac{-3k+\sqrt{9k^2 - 8}}{2}$.
wizard il caso chje mi hai illustrato tu l'ho fatto ponendo b=0 è giusto?
Chi è $b$?
Onestamente non ho credo di avere capito bene quello che hai fatto.
Onestamente non ho credo di avere capito bene quello che hai fatto.
b è iol termine con la x di primo grado!
Quindi il mio $-3k$?
Ma che centra porlo uguale a $0$.
Tornando all'esempio che ho proposto, le radici sono la $x_1$ e la $x_2$ che ho scritto.
Chiedere che $x_1=-x_2$ è imporre l'equazione che ho scritto.
Ora si deve risolvere quella equazione, che risolta restituisce $k=0$, ma noi non poniamo $-3k=0$, questo lo avremmo dovuto fare se fosse stata chiesta un'altra cosa, tipo rendere l'equazione pura.
Senza considerare il fatto che nell'equazione che ho proposto per $k=0$ il radicando è negativo.
Ma che centra porlo uguale a $0$.
Tornando all'esempio che ho proposto, le radici sono la $x_1$ e la $x_2$ che ho scritto.
Chiedere che $x_1=-x_2$ è imporre l'equazione che ho scritto.
Ora si deve risolvere quella equazione, che risolta restituisce $k=0$, ma noi non poniamo $-3k=0$, questo lo avremmo dovuto fare se fosse stata chiesta un'altra cosa, tipo rendere l'equazione pura.
Senza considerare il fatto che nell'equazione che ho proposto per $k=0$ il radicando è negativo.
mi puoi scrivere la formula generica per quel caso? perfavore
Non esiste una formula generale.
Si possono fare delle considerazioni generali.
Mi spiego meglio.
Considera l'eqauzione $ax^2 + bx + c = 0$, cioè la forma generale di una equazione di secondo grado in $x$.
Le radici sono $x_1 = \frac{ - b - \sqrt{ b^2 - 4 a c }}{2a}$ e $x_2 = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Chiedere che sia $x_1 = - x_2$ equivale a chiedere che sia
$\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}=\frac{b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
da cui discende che $b=0$. Se è $b=0$ il discriminante si riduce a $-4ac$, quindi $b=0$ è ammissibile se è $-4ac >=0$ (ho assunto implicitamente che stiamo lavorando nel campo reale), ma se è $-4ac < 0$ quel $b=0$ non va bene.
Così tornando a quell'eqauzione che ho proposto si capisce che $k=0$ non funge perché rende il discriminante negativo.
In generale, data una equazione parametrica $f(t) * x^2 + g(t) * x + h(t) = 0$ ove $t$ è il nostro parametro reale, se è $g(t) != 0, \forall t \in \mathbb{R}$ (cioè se il coefficiente della $x$ di primo grado è un numero e non un parametro) allora non si avrà mai $x_1 = - x_2$, ma se è $g(t)$ un vero parametro (cioè non unnumero, ma una "formula" di $t$) devi procedere a risolvere l'eqauzione che esce fuori dall'imposizione della condizione richieste (sulla falsariga di quello che ho fatto io) e poi eseguire il controllo del valore parametrico determinato.
In buona sostanza, dipende dall'esercizio.
P.S.
Si attendono eventuali correzioni dagli altri utenti del forum.
Si possono fare delle considerazioni generali.
Mi spiego meglio.
Considera l'eqauzione $ax^2 + bx + c = 0$, cioè la forma generale di una equazione di secondo grado in $x$.
Le radici sono $x_1 = \frac{ - b - \sqrt{ b^2 - 4 a c }}{2a}$ e $x_2 = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Chiedere che sia $x_1 = - x_2$ equivale a chiedere che sia
$\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}=\frac{b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
da cui discende che $b=0$. Se è $b=0$ il discriminante si riduce a $-4ac$, quindi $b=0$ è ammissibile se è $-4ac >=0$ (ho assunto implicitamente che stiamo lavorando nel campo reale), ma se è $-4ac < 0$ quel $b=0$ non va bene.
Così tornando a quell'eqauzione che ho proposto si capisce che $k=0$ non funge perché rende il discriminante negativo.
In generale, data una equazione parametrica $f(t) * x^2 + g(t) * x + h(t) = 0$ ove $t$ è il nostro parametro reale, se è $g(t) != 0, \forall t \in \mathbb{R}$ (cioè se il coefficiente della $x$ di primo grado è un numero e non un parametro) allora non si avrà mai $x_1 = - x_2$, ma se è $g(t)$ un vero parametro (cioè non unnumero, ma una "formula" di $t$) devi procedere a risolvere l'eqauzione che esce fuori dall'imposizione della condizione richieste (sulla falsariga di quello che ho fatto io) e poi eseguire il controllo del valore parametrico determinato.
In buona sostanza, dipende dall'esercizio.
P.S.
Si attendono eventuali correzioni dagli altri utenti del forum.
"WiZaRd":
Quindi il mio $-3k$?
Ma che centra porlo uguale a $0$.
pre scriptum:non ho letto l'ultimo post di wizard.
direi che b=0 e' condizione necessaria (ma non sufficiente, come hai ben detto tu) affinche' $x_1=-x_2$
si, in generale dipende da esercizo a esercizio, comunque in $a*x^2 +b*x+c=0$ se chiede $x1=x2$ si pone il delta uguale a 0 e si trova il parametro..se chiede $x1=-x2$ si pone b=0 e si trova il parametro..poi semplicemente si sostituisce il parametro nell'equazione iniziale e si verifica se è vera o meno.. ad esempio : $(m+1)x^2-2*(m+1)x+(m-1)=0$ ponendo b=0 verrebbe m=-1 ma sostituendo verrebbe $-2=0$ il che è impossibile..
Stavo pensando a questa cosa:
la media armonica delle radici di un'equazione di secondo grado
$ax^2+bx+c=0$
si ottiene semplicemente facendo
$-2c/b$
così uno può risparmiare tempo..
La media armonica delle radici non dipende dal coeff. $a$..
La cosa interessante è che la formula vale anche per le radici complesse.
Questa cosa può essere interessante, potrebbe portare a qualche risultato
inaspettato, che dite voi?
la media armonica delle radici di un'equazione di secondo grado
$ax^2+bx+c=0$
si ottiene semplicemente facendo
$-2c/b$
così uno può risparmiare tempo..
La media armonica delle radici non dipende dal coeff. $a$..
La cosa interessante è che la formula vale anche per le radici complesse.
Questa cosa può essere interessante, potrebbe portare a qualche risultato
inaspettato, che dite voi?
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