Equazioni numeri complessi
Buongiorno a tutti!
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti riguardo la risoluzione delle equazioni con numeri complessi. In particolare trovo abbastanza ostiche equazioni come le seguenti:
1) $| z^2+1| = z\cdot z^2$
2) $i | z |^2(z-2)=-(\sqrt{3}+2i)\overline{z}$
Quello che vorrei capire è se esiste un metodo risolutivo che si adatta a qualsiasi equazione con numeri complessi. Ad esempio, utilizzare la forma algebrica $z = x + iy$ non è sempre adeguata o fattibile per equazioni con potenze elevate o radicali. In questi ultimi casi è consigliato utilizzare la forma esponenziale... e se usassi sempre e solo la forma esponenziale?
Nella prima equazione che ho scritto, se provo ad utilizzare la forma algebrica mi esce una mostruosità:
1)
$| (x+iy)^2+1 | = (x+iy)(x+iy)^2$
$| x^2-y^2+1+2ixy | = (x+iy)(x+iy)^2$
$\sqrt((x^2-y^2+1)^2+(2xy)^2) = (x+iy)(x+iy)^2$
E da qui non riesco più a continuare... perché mi uscirebbe una equazione di sesto grado. Mi chiedo se ci sia un motivo particolare l'aver scritto $z \cdot z^2$ piuttosto che $z^3$... Comunque, non saprei applicare la forma esponenziale in questo caso. Discorso analogo per la seconda equazione.
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti riguardo la risoluzione delle equazioni con numeri complessi. In particolare trovo abbastanza ostiche equazioni come le seguenti:
1) $| z^2+1| = z\cdot z^2$
2) $i | z |^2(z-2)=-(\sqrt{3}+2i)\overline{z}$
Quello che vorrei capire è se esiste un metodo risolutivo che si adatta a qualsiasi equazione con numeri complessi. Ad esempio, utilizzare la forma algebrica $z = x + iy$ non è sempre adeguata o fattibile per equazioni con potenze elevate o radicali. In questi ultimi casi è consigliato utilizzare la forma esponenziale... e se usassi sempre e solo la forma esponenziale?
Nella prima equazione che ho scritto, se provo ad utilizzare la forma algebrica mi esce una mostruosità:
1)
$| (x+iy)^2+1 | = (x+iy)(x+iy)^2$
$| x^2-y^2+1+2ixy | = (x+iy)(x+iy)^2$
$\sqrt((x^2-y^2+1)^2+(2xy)^2) = (x+iy)(x+iy)^2$
E da qui non riesco più a continuare... perché mi uscirebbe una equazione di sesto grado. Mi chiedo se ci sia un motivo particolare l'aver scritto $z \cdot z^2$ piuttosto che $z^3$... Comunque, non saprei applicare la forma esponenziale in questo caso. Discorso analogo per la seconda equazione.
Risposte
"Lucia01":
Quello che vorrei capire è se esiste un metodo risolutivo che si adatta a qualsiasi equazione con numeri complessi. Ad esempio, utilizzare la forma algebrica $z = x + iy$ non è sempre adeguata o fattibile per equazioni con potenze elevate o radicali. In questi ultimi casi è consigliato utilizzare la forma esponenziale... e se usassi sempre e solo la forma esponenziale?
Esistono i metodi che citi, e capita che siano farraginosi: allora si cerca un'altra strada e spesso occorre fantasia. Per le tue equazioni, io ragionerei come segue.
Equazione 1
A secondo membro io leggo $z*z^2$ e non capisco perché non sia stato scritto direttamente $z^3$. I tuoi calcoli confermano questa interpretazione, ma vedo che in realtà hai scritto z\cdot z^2 e non conosco questa istruzione: qual è il vero testo?
Continuo pensando che il secondo membro sia $z^3$.
Il primo membro è reale, quindi deve esserlo anche il secondo: $z^3=rho^3$ e quindi $z$ è uguale ad un $rho$ incognito per una delle radici cubiche dell'unità.
- Caso A: $z=rho$
L'equazione diventa $rho^2+1=rho^3$ e può risolversi solo approssimativamente, con una soluzione nell'intervallo $(1;2)$
- Caso B: $z=rho(-1/2+-isqrt3/2)$
Salvo errori (non ho controllato i calcoli) l'equazione diventa
$sqrt(rho^4-rho^2+1)=rho^3->...->(rho^2-1)(rho^4+1)=0$
e poiché $rho$ è reale e non-negativo, l'unica soluzione è $rho=1$
Equazione 2
Balza agli occhi la soluzione $z=0$; continuo cercando la soluzioni non nulle.
Moltiplico entrambi i membri per $z$; ricordando che $z*bar(z)=|z|^2$, lo semplifico. Ottengo così
$i z(z-2)=-(\sqrt{3}+2i)$
e la risolvo come una normale equazione di secondo grado.
Innanzitutto ti ringrazio per la spiegazione esauriente 
Questa è un po' una delusione, perché la fantasia e il giusto intuito possono non arrivare proprio nel momento in cui servono, ad esempio in una prova di matematica. Capita magari di passare l'intero giorno a scervellarsi su un'equazione senza trarne conclusioni, riprovare il giorno dopo e risolverla immediatamente. Avrei sperato in un procedimento più meccanico.
Con la direttiva \cdot intendevo proprio il simbolo della moltiplicazione. L'equazione è scritta così sul libro ed ho pensato, infatti, che fosse una sorta di suggerimento degli autori per far applicare qualche proprietà (o per trarre in inganno)... forse è solo un errore di stampa.
Non mi è molto chiara la risoluzione. Fino a $z^3 = \rho^3$ ci sono, quindi ottieni le tre radici cubiche di $z$ in questo modo (perché dividi i due casi A e B?):
$z_{0,1,2}=\rho(\cos\frac{0 + 2k\pi}{3}+i\sin\frac{0 + 2k\pi}{3})$, con $k = 0, 1, 2$
$z_0 = \rho$
$z_1 = \rho(\cos\frac{2\pi}{3} +i\sin\frac{2\pi}{3}) = \rho(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$
$z_2 = \rho(\cos\frac{4\pi}{3} +i\sin\frac{4\pi}{3}) = \rho(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$
Non comprendo come hai trasformato $|z^2+1|$ in $\sqrt(\rho^4-\rho^2+1)$
Una tecnica intelligente! Non mi sarebbe mai venuta in mente
"giammaria":
Esistono i metodi che citi, e capita che siano farraginosi: allora si cerca un'altra strada e spesso occorre fantasia.
Questa è un po' una delusione, perché la fantasia e il giusto intuito possono non arrivare proprio nel momento in cui servono, ad esempio in una prova di matematica. Capita magari di passare l'intero giorno a scervellarsi su un'equazione senza trarne conclusioni, riprovare il giorno dopo e risolverla immediatamente. Avrei sperato in un procedimento più meccanico.
"giammaria":
Equazione 1
A secondo membro io leggo $ z*z^2 $ e non capisco perché non sia stato scritto direttamente $ z^3 $. I tuoi calcoli confermano questa interpretazione, ma vedo che in realtà hai scritto z\cdot z^2 e non conosco questa istruzione: qual è il vero testo?
Con la direttiva \cdot intendevo proprio il simbolo della moltiplicazione. L'equazione è scritta così sul libro ed ho pensato, infatti, che fosse una sorta di suggerimento degli autori per far applicare qualche proprietà (o per trarre in inganno)... forse è solo un errore di stampa.
Non mi è molto chiara la risoluzione. Fino a $z^3 = \rho^3$ ci sono, quindi ottieni le tre radici cubiche di $z$ in questo modo (perché dividi i due casi A e B?):
$z_{0,1,2}=\rho(\cos\frac{0 + 2k\pi}{3}+i\sin\frac{0 + 2k\pi}{3})$, con $k = 0, 1, 2$
$z_0 = \rho$
$z_1 = \rho(\cos\frac{2\pi}{3} +i\sin\frac{2\pi}{3}) = \rho(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$
$z_2 = \rho(\cos\frac{4\pi}{3} +i\sin\frac{4\pi}{3}) = \rho(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$
Non comprendo come hai trasformato $|z^2+1|$ in $\sqrt(\rho^4-\rho^2+1)$
"giammaria":
Equazione 2
Moltiplico entrambi i membri per $ z $; ricordando che $ z*bar(z)=|z|^2 $, lo semplifico [..]
Una tecnica intelligente! Non mi sarebbe mai venuta in mente
"Lucia01":
perché dividi i due casi A e B?.... Non comprendo come hai trasformato $|z^2+1|$ in $\sqrt(\rho^4-\rho^2+1)$
Per brevità, nel caso B ho riunito assieme i casi che tu chiami $z_1, z_2$. Per l'altra domanda ti scrivo i calcoli (nel simbolo $+-$ il meno dovrebbe stare al di sopra ma non c'è il carattere; in questo esercizio la cosa non ha importanza).
$|z^2+1|=|rho^2(1/4-3/4+-isqrt3 /2)+1|=|(-1/2 rho^2+1)+-i sqrt3/2rho^2|=sqrt((-1/2 rho^2+1)^2+(sqrt 3/2rho^2)^2)=sqrt(1/4rho^4+1-rho^2+3/4rho^4)=sqrt(rho^4-rho^2+1)$
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