Equazioni logaritmiche. Potete darmi una mano?
Ho provato a risolvere queste 4 operazioni, ma non mi portano! Non capisco dove sbaglio...se qualcuno riesce a dedicarmi un pò di tempo e farmi vedere come si risolvono, gliene sarei grata! 
Ecco il testo:
http://i50.tinypic.com/33mvm94.jpg
http://i47.tinypic.com/29ctfva.jpg
RISULTATI:
1. 2; 3/2
2. -3; 5
3. IMP
4. 2/3logb + 1/6logq - 1/9logr
Ecco il testo:
http://i50.tinypic.com/33mvm94.jpg
http://i47.tinypic.com/29ctfva.jpg
RISULTATI:
1. 2; 3/2
2. -3; 5
3. IMP
4. 2/3logb + 1/6logq - 1/9logr
Risposte
Per la prima, ricordando che $root(a)(x^b) = x^{b/a}$ puoi scrivere la parte sinistra dell'equazione in questa forma $3^{3/2x-1}$ e la parte destra, applicando le proprietà delle potenze come $3^{x^2+2-2x}$. A questo punto ti basta uguagliare gli esponenti e risolvere l'equazione di secondo grado che ne risulta.
Per la seconda devi sostituire $2^x = t$, avrai quindi che $2^{2x} = t^2$.
Ti troverai con un'equazione di secondo grado nell'incognita $t$. La risolvi, trovando le due soluzioni di t che andrai ad uguagliare nuovamente a $2^x$ per trovare la corrispondente x.
Per la terza utilizzi le proprietà dei logaritmi, ottenendo:
$log[(x+1)(x-3)] = log[(1-2x)(x+3)]$
Uguagliando i due argomenti dei logaritmi otterrai un'equazione di secondo grado che darà due soluzioni che andranno entrambe escluse in quanto entrambe minori di 3. Questo perchè il dominio della tua funzione iniziale è $x > 3$
Per il quarto, ricordando la proprietà delle radici dell'esercizio 1, puoi scriverlo così:
$log((p^2*q^(1/2))/r^(1/3))^(1/3) = log((p^(2/3)*q^(1/6))/r^(1/9))$
Ora scomponendolo tramite le proprietà dei logaritmi ottieni:
$logp^(2/3) + logq^(1/6) - logr^(1/9) = 2/3logp + 1/6logq-1/9logr$
Per la seconda devi sostituire $2^x = t$, avrai quindi che $2^{2x} = t^2$.
Ti troverai con un'equazione di secondo grado nell'incognita $t$. La risolvi, trovando le due soluzioni di t che andrai ad uguagliare nuovamente a $2^x$ per trovare la corrispondente x.
Per la terza utilizzi le proprietà dei logaritmi, ottenendo:
$log[(x+1)(x-3)] = log[(1-2x)(x+3)]$
Uguagliando i due argomenti dei logaritmi otterrai un'equazione di secondo grado che darà due soluzioni che andranno entrambe escluse in quanto entrambe minori di 3. Questo perchè il dominio della tua funzione iniziale è $x > 3$
Per il quarto, ricordando la proprietà delle radici dell'esercizio 1, puoi scriverlo così:
$log((p^2*q^(1/2))/r^(1/3))^(1/3) = log((p^(2/3)*q^(1/6))/r^(1/9))$
Ora scomponendolo tramite le proprietà dei logaritmi ottieni:
$logp^(2/3) + logq^(1/6) - logr^(1/9) = 2/3logp + 1/6logq-1/9logr$
Grazie mille! Ho un'ultimo dubbio...
Nella soluzione del primo esercizio mi è stato suggerito di fare così:
3^(3x/2-1)=3^(x²)*3^(2-2x) -->
3^[(3x-2)/2]=3^(x²-2x+2) -->
3x-2=2x²-4x+4 -->
2x²-7x+6=0 le cui radici sono
x=3/2 V x=2.
Ma non capisco il seguente passaggio:
3^(3x/2-1) --> 3^[(3x-2)/2]
Nella soluzione del primo esercizio mi è stato suggerito di fare così:
3^(3x/2-1)=3^(x²)*3^(2-2x) -->
3^[(3x-2)/2]=3^(x²-2x+2) -->
3x-2=2x²-4x+4 -->
2x²-7x+6=0 le cui radici sono
x=3/2 V x=2.
Ma non capisco il seguente passaggio:
3^(3x/2-1) --> 3^[(3x-2)/2]
E' il minimo comune multiplo!
PS. Racchiudi le formule che hai scritto tra due simboli di dollaro per visualizzarle correttamente, cioè $x^2$ al posto di x^2.
Ciao.
PS. Racchiudi le formule che hai scritto tra due simboli di dollaro per visualizzarle correttamente, cioè $x^2$ al posto di x^2.
Ciao.
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