Equazioni logaritmiche
Ciao, perfavore potreste aiutarmi a risolvere queste due equazioni?
1) $ 1 - 2log_2 (x+4) = log_2 (1/2) $
2) $ log_2 x - (1/2)log_2 (9-x^2) = 1 $
La prima cosa che ho fatto in entrambe le equazioni è stato sostirure $ 1 = log_2 2 $. Poi ho provato ad applicare la proprietà dei logaritmi $ log_a (b/c) = log_a b - log_a c $. Infine avendo sia nel primo membro che nel secondo membro dell'equazione i logaritmi con base uguale, ho tolto i logaritmi e ho fatto i calcoli, ma non mi risulta nulla.
1) $ 1 - 2log_2 (x+4) = log_2 (1/2) $
2) $ log_2 x - (1/2)log_2 (9-x^2) = 1 $
La prima cosa che ho fatto in entrambe le equazioni è stato sostirure $ 1 = log_2 2 $. Poi ho provato ad applicare la proprietà dei logaritmi $ log_a (b/c) = log_a b - log_a c $. Infine avendo sia nel primo membro che nel secondo membro dell'equazione i logaritmi con base uguale, ho tolto i logaritmi e ho fatto i calcoli, ma non mi risulta nulla.
Risposte
1) $ 1 - 2log_2 (x+4) = log_2 (1/2) $
Intanto deve essere $x+4>0->x> -4$.
Poi si può notare che $log_2 (1/2) =-1$. Quindi l'equazione diventa
$ 1 - 2log_2 (x+4) = -1 ->2log_2(x+4)=2->log_2(x+4)=1->2^1=x+4->x=-2$.
2) $ log_2 x - (1/2)log_2 (9-x^2) = 1 $
Deve essere $x>0$ e $9-x^2>0$, da cui $0
$ log_2 x - (1/2)log_2 (9-x^2) = 1 ->2log_2 x - log_2 (9-x^2) = 2 ->$
$log_2 (x^2/(9-x^2))=2->x^2/(9-x^2)=4->x^2=36-4x^2->$
$5x^2=36->x=6/sqrt(5)$
Intanto deve essere $x+4>0->x> -4$.
Poi si può notare che $log_2 (1/2) =-1$. Quindi l'equazione diventa
$ 1 - 2log_2 (x+4) = -1 ->2log_2(x+4)=2->log_2(x+4)=1->2^1=x+4->x=-2$.
2) $ log_2 x - (1/2)log_2 (9-x^2) = 1 $
Deve essere $x>0$ e $9-x^2>0$, da cui $0
$ log_2 x - (1/2)log_2 (9-x^2) = 1 ->2log_2 x - log_2 (9-x^2) = 2 ->$
$log_2 (x^2/(9-x^2))=2->x^2/(9-x^2)=4->x^2=36-4x^2->$
$5x^2=36->x=6/sqrt(5)$
Prendiamo la prima: \[
2\log_2 (x+4) = \log_2 2 - \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)
\]\[
\log_2 (x+4)^2 = \log_2 4
\]\[
x^2 + 8x + 16 = 4 \quad\Rightarrow\quad x^2 + 8x + 12 = 0
\]\[
x = -6 \vee x = -2
\]Ma, tenendo conto che la condizione per l'esistenza del logaritmo era $x > -4$, è accettabile solo la soluzione $x = -2$.
Ti è tutto chiaro? Ora riprova con la seconda e posta i calcoli.
2\log_2 (x+4) = \log_2 2 - \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)
\]\[
\log_2 (x+4)^2 = \log_2 4
\]\[
x^2 + 8x + 16 = 4 \quad\Rightarrow\quad x^2 + 8x + 12 = 0
\]\[
x = -6 \vee x = -2
\]Ma, tenendo conto che la condizione per l'esistenza del logaritmo era $x > -4$, è accettabile solo la soluzione $x = -2$.
Ti è tutto chiaro? Ora riprova con la seconda e posta i calcoli.
Per adesso sto analizzando la prima (nella seconda ancora non ho capito un granchè 
). Chiaraotta, non ho capito cosa fai dopo: $ log_2 x+4 = 1 $, in $ 2^1 = x+4 $ da dove prendi il $ 2^1 $?
Mentre per mimonic, $ log_2 (x+4)^2 = log_2 4 $ perchè nel successivo passaggio ti viene $ x^2 + 8x + 16 = 4 $ e non $ x^2 + 8x + 16 = 2 $? $ Log_2 4 = 2 $ giusto?
). Chiaraotta, non ho capito cosa fai dopo: $ log_2 x+4 = 1 $, in $ 2^1 = x+4 $ da dove prendi il $ 2^1 $?Mentre per mimonic, $ log_2 (x+4)^2 = log_2 4 $ perchè nel successivo passaggio ti viene $ x^2 + 8x + 16 = 4 $ e non $ x^2 + 8x + 16 = 2 $? $ Log_2 4 = 2 $ giusto?
1)Poniti la domanda ricorrente per il logaritmo: "il logaritmo è a quanto devo elevare la base per ottenere l'argomento"
quindi < $1=log_2 2^1$ quindi: $log_2x+4=log_2 2^1$ (chiarotta ha scritto 1 come ti ho indicato poc'anzi).
2)Minomic invece ha applicato la proprietà dei logaritmi secondo la quale $log_a x - log_a y=log_a x/y$ (con le solite restrizioni tipiche del logaritmo) quindi: $ log_2 2−log_2(1/2)=log_2 2/(1/2)=log_2 2*2=log_2 4 $ (che come hai detto tu è uguale a 2)
Più chiaro?
quindi < $1=log_2 2^1$ quindi: $log_2x+4=log_2 2^1$ (chiarotta ha scritto 1 come ti ho indicato poc'anzi).
2)Minomic invece ha applicato la proprietà dei logaritmi secondo la quale $log_a x - log_a y=log_a x/y$ (con le solite restrizioni tipiche del logaritmo) quindi: $ log_2 2−log_2(1/2)=log_2 2/(1/2)=log_2 2*2=log_2 4 $ (che come hai detto tu è uguale a 2)
Più chiaro?
"Fregior":
1)Poniti la domanda ricorrente per il logaritmo: "il logaritmo è a quanto devo elevare la base per ottenere l'argomento"
quindi < $1=log_2 2^1$ quindi: $log_2x+4=log_2 2^1$ (chiarotta ha scritto 1 come ti ho indicato poc'anzi).
2)Minomic invece ha applicato la proprietà dei logaritmi secondo la quale $log_a x - log_a y=log_a x/y$ (con le solite restrizioni tipiche del logaritmo) quindi: $ log_2 2−log_2(1/2)=log_2 2/(1/2)=log_2 2*2=log_2 4 $ (che come hai detto tu è uguale a 2)
Più chiaro?
Si si gazie
Quello che ha fatto mimonic l'avevo già capito però facendo i calcoli in mente, con la stanchezza etc sbagliavo!Chiaraotta invece ha risolto l'equzione in base alla definizione di logaritmo, io in pratica avevo fatto un po' di confusione. Comunque grazie a tutti per il vostro aiuto
Ragazzi mi servirebbe ancora il vostro aiuto! Non mi risultano due equazioni logaritmiche risolvibili mediante sostituzione, le posto qui giù i miei calcoli:
1) $log x^2 + 1/(log x) = 3 -> log^2 x^3 + 1 = (3)log x$ (ho fatto il minimo comune multiplo) -> pongo $log x = t -> 3t^2 - 3t + 1 = 0 -> Δ<0 $ quindi nessuna soluzione reale. Il risultato del libro invece è $x_1= √10$ e $x_2=10$
2) $1/(ln x) + 1/(ln^2 x) = 2 $-> pongo $ln x=t -> 2t^3 - t^2 - t = 0 $ (ho fatto il minimo comune multiplo) -> $t(2t^2 - t - 1)=0 -> t_1= -2; t_2=0; t_3= 5/2$
$ ln x = -2 -> x=1/(e^2)$
$ ln x = 0 -> x=1 $
$ ln x=5/2 -> x=e^(5/2) $
I risultati di quest'ultima espressione invece dovrebbero essere: $ x_1=1/(√e); x_2=e$
1) $log x^2 + 1/(log x) = 3 -> log^2 x^3 + 1 = (3)log x$ (ho fatto il minimo comune multiplo) -> pongo $log x = t -> 3t^2 - 3t + 1 = 0 -> Δ<0 $ quindi nessuna soluzione reale. Il risultato del libro invece è $x_1= √10$ e $x_2=10$
2) $1/(ln x) + 1/(ln^2 x) = 2 $-> pongo $ln x=t -> 2t^3 - t^2 - t = 0 $ (ho fatto il minimo comune multiplo) -> $t(2t^2 - t - 1)=0 -> t_1= -2; t_2=0; t_3= 5/2$
$ ln x = -2 -> x=1/(e^2)$
$ ln x = 0 -> x=1 $
$ ln x=5/2 -> x=e^(5/2) $
I risultati di quest'ultima espressione invece dovrebbero essere: $ x_1=1/(√e); x_2=e$
Nel prodotto tra due logaritmi non vengono moltiplicati gli argomenti. Quindi $logx^2*logx=2logx*logx=2log^2x$.
Ti scrivo gli errori della seconda perchè mi sono saltati subito all'occhio: $t=0$ non è soluzione perchè $ln x = 0$ annullerebbe il denominatore. Inoltre è sbagliata la risoluzione di \[2t^2 - t - 1 = 0\] dato che le sue soluzioni sono \[t = 1 \quad\vee\quad t = -\frac{1}{2}\]
"minomic":
Ti scrivo gli errori della seconda perchè mi sono saltati subito all'occhio: $t=0$ non è soluzione perchè $ln x = 0$ annullerebbe il denominatore. Inoltre è sbagliata la risoluzione di \[2t^2 - t - 1 = 0\] dato che le sue soluzioni sono \[t = 1 \quad\vee\quad t = -\frac{1}{2}\]
Da quello che ho capito ( grazie a burm87), il prodotto tra due logaritmi può avvenire solamente quando gli argomenti e le basi sono uguali (e non si moltiplicano nè le basi nè gli argomenti), giusto?
Minomic io (nella seconda) facendo la sostituzione, arrivo a: $2t^3 - t^2 - t = 0$ come le trovo le soluzioni?
"matnice":
Minomic io (nella seconda) facendo la sostituzione, arrivo a: $2t^3 - t^2 - t = 0$ come le trovo le soluzioni?
A parte il fatto che in realtà il minimo comune multiplo si potrebbe fare con $t^2$ e non $t^3$ per semplificare i calcoli...
In ogni caso quando hai \[2t^3 - t^2 - t = 0\] si procede così: \[t\left(2t^2-t-1\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 0 \quad \vee \quad 2t^2-t-1=0\] Come abbiamo detto la soluzione $t=0$ non è accettabile, quindi continuiamo con l'altra. Applichiamo la famosa formula per la risoluzione delle equazioni di secondo grado: \[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] e troviamo \[t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \quad\Rightarrow\quad t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{1}{2}\]
Ok, risolto! Avevo sbagliato i calcoli. Grazie
Prego!
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